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计算机仿真科学的发展，使我们能够在虚拟环境中瞬抚四海和纵览古今，而有限元方法(Finite Element Method) 及其计算机程序正是我们到达彼岸的桥梁，它是虚拟科学与工程研究的重要工具。 *Bt`6u.>e,
有限单元法的历史 ,0#5kc*X
有限单元法的思想萌芽，可以追溯到十八世纪的欧拉 (Euler)。在十八世纪，欧位就曾经使用与现代有限单元法相同的方法计算过杆在轴力作用下的平衡问题; 现代可以追溯到Courant在1943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小势能原理结合起来去求解圣维南 (Saint-Venant) 扭转问题。此后，基于工作需要，一些应用数学家、物理学家和工程师都涉足过有限单元概念的应用。 KsGS s9
有限单元法第一个成功应用于弹性力学平面问题的是特纳（Turner）、克拉夫（Clough）、马丁（Martin）和托普（Top）等人于1956年在分析飞机结构时所获得的成果，他们把结构划分成一个个三角形和矩形的单元，把位移法应用到平面应力问题中去。在他们的公式中，每一单元的特性是用一个单元结点上的力使之结点位移相联系的单元刚度矩阵来表示。他们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。他们的研究工作打开了利用电子计算机求解复杂平面弹性问题的新局面。几乎与此同时，中国科学院的冯康教授也独立地提出了类似的方法。于1960年，Clough进一步处理了弹性力学平面问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称，从此，人们开始认识了有限单元法的功效。 nzTzc5
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在1999年慕尼黑的欧洲计算力学会议上，R.L. Taylor教授（“有限元方法：The Finite Element Method”第2作者）在主题报告中，形象生动地用三角形单元的3个顶点形容有限元方法的3位奠基人： R.W. Clough，J.H. Argyris，O.C. Zienkiewicz（“有限元方法”第1作者），足以证明“有限元方法”的两位作者对发展有限元方法的贡献。该书是有限元方法最早的出版物，第1版诞生于1967年，历经40年和前后5版的不断更新，从结构、固体扩展到流体，从一卷本扩展到三卷本，凝聚了该书作者近40年的研究成果，荟萃了近千篇文献的精华，培养了全世界几代计算固体力学的师生和工程师，成为有限元方法的经典名著。该书的第1卷覆盖了在线性问题内容中有限元近似的基本方面，涉及了在稳态和瞬态情况下的二维和三维弹性、热传导和电磁问题的典型例子，介绍了有限元计算程序的结构。第2卷 -- 固体力学篇，涵盖了计算固体力学的前沿课题，描述了非线性系统的特殊问题，如材料、几何和接触非线性问题的有限元格式、求解和例题；同时也包含了结构力学分析中板和壳体的有限元格式、解答和应用。在第3卷中介绍了有限元在流体力学中的应用。 rSD!u0c [
电子计算机对有限单元法的发展有着决定性的影响，有限单元法要求解算大规模的联立代数方程。未知数的个数多，没有高速度、大容量的计算机运算是很难实现的，所以这种方法到五十年代中期，由于电子计算机的发展，才开始大量应用和发展。有限单元法又叫做电子计算机的计算方法。至今，这一方法解决问题的能力和适用范围都有极大的发展，除了在结构力学领域中充分显示它的实用性外，这一方法已经用于研究断裂力学（Fracture Mechanics）、传热学（Convective Transport）、流体力学（Fluid Mechanics）、电磁学（Electro-magnetics）等连续介质力学中的问题。最早把有限元方法用于钢筋混凝土梁是Ngo和Scordilis，1967年他们分析了一些简支梁，混凝土和钢筋都用二维的三角形有限元来表示，并采用粘结连接单元，把钢筋和混凝土连系起来。 +SmcZ^\OZ
有限元法的数学基础是变分原理和插值方法。人们熟知，方砖可以砌出圆井，直锯可以锯出弯板，把一根连续曲线，分段以曲代直而得到近似的折线，分割愈细逼真度愈高，这就是所谓分割近似方法，或称分片插值方法。有限元法就是在变分原理的基础上，运用插值近似的手段来形成解题方法，它把复杂的结构整体分割为有限多个基本单元，即点、线、面、体等单元，并将待解函数在每个单元进行分区插值，通常是极简单的线性或低次的多项式插值，而总体能量泛函就合理地简化为单元能量的累加和，从而把无限多个自由度的二次泛函的极值问题离散化为有限多个自由度的普通多元二次函数的极值问题，后者又等价于线性代数方程组，然后进行解算。总的说来，有限元法的指导思想可以归纳为十六字诀“化整为零、裁弯取直、以简驭繁、变难为易”，其中辩证因素是很活跃的。 <)zh2UI
由于变分原理和分区插值的有机结合，有限元法成功地吸取了传统的能量法和差分法的优点，它在形式上相当单调规一，便于在计算机上实现标准化，而实质上却灵活机动，特别适合于几何上、物理上比较复杂的问题。此外，在变分原理与插值近似相结合的基础上，能把无限与有限、连续与间断等两对立面辩证地统于一体而建立完整的理论基础，能对方法的可靠性给出符合实际要求的理论保证，基本上弥合了长期存在的理论与实践之间的差距。因此，相对于传统方法而言，有限元法显示了多方面的优越性，表现在解题效能高强，理论基础牢靠，条理直观明确，应用范围宽广。 h@72eav3+
有限单元法用数学术语来说，就是从变分原理 (Variation Principle)出发，通过分区杆值，把二次泛函（能量积分）（The Second Order Functional）的极值（Extremum）问题化为一组多元线性代数方程来求解。然而有限单元法的公式不一定要建立在变分途径的基础上，以后我们会讲到用加权余量法（Method of Weighed Residuals）也会建立同样的有限单元法的公式。 dy jzF`H
40多年来，有限元法的理论臻趋完善，应用得到了迅速发展，几乎遍及所有的工程技术领域。有限元法能够迅速发展成为现代工业与工程技术密不可分的一个重要组成部分，除了依赖于现代工业化技术发展需要的大环境之外，有限元法本身具有的下列许多优点也很重要： 0C}7=_?
(1) 概念显浅，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可通过非常直观的物理解释来理解，也可以透过建基于严格的数学理论分析来理解。 z+1#p.F$@
(2) 有很强的适用性，应用范围极广宽。它不仅能处理线性弹性力学问题、非均质材料、各向异性材料、非线性应力-应变关系、大变形问题、动力学问题以及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。它几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，而目前，它正开始向纳米量级的分子动力学渗透。 ,XW 6W&vR;
(3) 有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化，为有限元法的推广和应用奠定了良好的基础。 <=V2~
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(4) 适合于分析复杂几何形状的连续介质问题。 #(jozl_8
(5) 便于引入各种要求的边界条件。
