第一章 随机事件和概率
'Cc(3
第一节 基本概念 &leK}je [
1@_T m
1、排列组合初步 ?WFh',`:
（1）排列组合公式 *e/K:k
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 b$- e\XB!
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 Vmi{X b]<
例1．1：方程 的解是 lZWX7FO'
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 6rX_-Mm6w
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ hfrnxeM#~
1 RqgMMJL
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n = yXs?y"
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 \40 YG FO
/:[2'_Xl
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n b ,<9
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 I1"MPx{
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ `xz&Scil
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ a07= tD
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 ?c#$dc"
A．120种 B．140种 C．160种 D．180种 76H!)={
R_kQPP
e3m*i}K}
:i*JnlvZ
'& yeQ
(4)一些常见排列 EKZVF`L
① 特殊排列 B0Xl+JIR#
相邻 :}q\tNY<
彼此隔开 ux-CpI
顺序一定和不可分辨 cAuY4RV
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ kB
P *K
①3个舞蹈节目排在一起； q/gB<p9
②3个舞蹈节目彼此隔开； L%cVykWY"
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 >e& :`2%.
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ ~;#MpG;e
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ <4` eQ
XFqJ 'R
② 重复排列和非重复排列（有序） |m
G7XL,
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ,/,9j{|"j
buMq F-j
③ 对立事件 uCP> y6I
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ d- E4~)Qy
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ (pR .Abq
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ `a]44es9q
@aG&n(.!u*
④ 顺序问题 pwX C
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） g:#d l\k
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） b1`r!B,
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） [_6 &N.
T-" I9kM
2、随机试验、随机事件及其运算 jE/oA<^
（1）随机试验和随机事件 Qx`~ g,wk8
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 \f Lvw
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 ;/8 {N0
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ^ 4hO8
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； O m' (mr
（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 !?FK We
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 vS? odqi#n
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 j
tA*pL'/V
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。 Ug"rJMZG
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。 z ; }6f
为必然事件，Ø为不可能事件。 cma*Dc
mY&ud>,U:
（2）事件的关系与运算 Ob<W/-%5tH
①关系： ; y.E !
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： _}Ps(_5D
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 }nx=e#[g%2
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 -w 6
"?
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 40P) 4w
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 dZ(|uC!?
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ]$iN#d|ZU
②运算： )NW6?Pu"
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C n&XGBwgW
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) tiaR4PB
德摩根率： ， ${&5]!E[>D
E
l&h;N
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件： Y: QD
（1）两只球是颜色相同的事件 ， tpf7_YP_!-
（2）两只球是颜色不同的事件 ， 7 ^e +
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。 8HErE< _(
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件： $ 17
su')
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ， 6L4$vJ
（2）至少有一次正面朝上的事件 ， t-e5 ld~a
（3）前两次正面朝上的事件 。 & *,:1=p
3、概率的定义和性质 K`KLC.j
（1）概率的公理化定义 =_TaA(79
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： &< x@1,
1° 0≤P(A)≤1， C? Zw6M+
2° P(Ω) =1 pxINw>\Qv
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
yfNX7
`k{& /]
常称为可列（完全）可加性。 *Td nB'Gd
则称P(A)为事件 的概率。 8\ha@&p
|$lwkC)O
（2）古典概型（等可能概型） \+PIe7f_
1° ， h5zVGr
2° 。 %"$@%"8;3
设任一事件 ，它是由 组成的，则有 g[z.*y/
P(A)= = dKhA$f~
~%y @Xsot>
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 ]> !<G8 =N
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ B5am1y{P#
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 )h$NS2B`
A． B． C． D． H}0dd"
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） ;e8V
+h
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） ,d,\-x-+/
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序） Y}R}-+bD/
$ItF])Bj5N
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 vP-M,4c
% 'Xk)-+y
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） B/uniR^x
（1）加法公式 mry N}
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ><?BqRm+
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) [Gr*,nVvB
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： XR+3j/zEQ
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。 :Og:v#r8=
lT8\}hNI+
（2）减法公式 ,t$,idcT+
P(A-B)=P(A)-P(AB) M~
h8Crz
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) yl]FP@N(
当A=Ω时，P( )=1- P(B) N]/!mo?
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ). ffDc 6*.Q
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是： ':
F}3At
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 &x:JD1T}
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) sYbH|}
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) @!tVr3;N$
g<*jlM1r
（3）条件概率和乘法公式 ph:3|d
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。 e, 1u
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 h+7># *DH
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) *=F(KZ
乘法公式： F
8yF
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 HaNboYW_K
… …… … 。 P @% .`8
l3i,K^Y L
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 j#A%q"]8
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ jh ez
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 JHV)ZOO
+54aO
（4）全概公式 i\} :hU-U
设事件 满足 8pZ< 9t'
1° 两两互不相容， ， #~ v4caNx
2° ， 7G2PMe;$m
则有 |!z2oO
。 P~C rtTss
此公式即为全概率公式。 _cqy`p@"
$r.U
* b(wVvz
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 !F4;_A`X
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： t={0(
A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225 f |3q^wjs
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
