第一章 随机事件和概率 Dd-;;Y1C
第一节 基本概念 X^r5su?
L(\sO=t
1、排列组合初步 0 #pjfc `:
(1)排列组合公式 *Z>Yv37P
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 rbiNp6AdL
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 1L]7*NJe
例1.1:方程 的解是 L>5VnzS I
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (~:k70V5
例1.2:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? VUC
h!5^d!2,
(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n Fq!12/Nn
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 @kvgq 0ab
` wuA}v3!
(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n K QXw~g?
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 Y]/(R"-2G
例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? &I
Iw>,,
例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? $e&( ncM
例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 c9-$td&
A.120种 B.140种 C.160种 D.180种 .=~beTS'Vo
a\S"d
Vc.A<(
C7[ge&
4!p~Mr[E
(4)一些常见排列 @[#U_T- I
① 特殊排列 8ar2N)59
相邻 et(/`
彼此隔开 ,mEFp_a+
顺序一定和不可分辨 +(0Fab8g
例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? %VOn;_Q*B
①3个舞蹈节目排在一起; Y:[WwX|
②3个舞蹈节目彼此隔开; `*cT79
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 agQzA/Xt
例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? xoF]r$sC8
例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? AVVL]9b_2
DnvJx!#R
② 重复排列和非重复排列(有序) 4o8uWS{`
例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? M[ $(Pu
}^Be^a<ub
③ 对立事件 ,cPNZ-%
例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? JYL/p9K[I
例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? La48M'u
例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性? p.^mOkpt
N]R<EBq
④ 顺序问题 ;"SnCBt:>
例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) <8Ek-aNNt
例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) -NtT@ +AE
例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序) x- kCNy
lA {
2、随机试验、随机事件及其运算 H1_XEcaM+*
(1)随机试验和随机事件 JIvVbI
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 ,X(P/x{B
例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现"1"点、"5"点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件(正态分布)。 qb(#{Sw0
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: v39`ct= e
(1) 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; .Gq.s t%
(2) 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 0l3v>ty
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示,例如 (离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 [tsi8r=T
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。 WXu:mv,'e
如果某个 是事件A的组成部分,即这个 在事件A中出现,记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ,则称在这次试验中事件A发生。 y
,isK
如果 不是事件A的组成部分,就记为 。在一次试验中,所出现的 有 ,则称此次试验A没有发生。 mbxJS_P
为必然事件,?为不可能事件。 dQ ?4@
?g%5 d
(2)事件的关系与运算 n={}='
①关系: tagkklJ~
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): H`q" _p:
如果同时有 , ,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 ;Q&38qI
A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 Cnd70tbD )
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者 ,它表示A发生而B不发生的事件。 R 5 47
A、B同时发生:A B,或者AB。A B=?,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 L0uvRge
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 |0FRKD]
②运算: ,\!4A
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C SY|r'8Z%Q
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) wVkms
德摩根率: , 4"1OtBU3
QEL^0c8 ~
例1.16:一口袋中装有五只乒乓球,其中三只是白色的,两只是红色的。现从袋中取球两次,每次一只,取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件, 表示取到的两只球是红色的事件,试用 、 表示下列事件: jUtrFl
(1)两只球是颜色相同的事件 , .z&V!2zp
(2)两只球是颜色不同的事件 , %F-/|x1#Q
(3)两只球中至少有一只白球的事件 。 ^tX+<X
例1.17:硬币有正反两面,连续抛三次,若Ai表示第i次正面朝上,用Ai表示下列事件: pq_DYG]
(1)前两次正面朝上,第三次正面朝下的事件 , 1)(p=<$
(2)至少有一次正面朝上的事件 , j[NA3Vj1P
(3)前两次正面朝上的事件 。 2uFaAAT
3、概率的定义和性质 E{gu39 D
(1)概率的公理化定义 ^Dh j<_
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: ANtp7ad
1° 0≤P(A)≤1, Yf.H$L
2° P(Ω) =1 zrk/}b0j
3° 对于两两互不相容的事件 , ,…有 9qD/q?Hh$
a
OR}
常称为可列(完全)可加性。 nN>D=a"&F
则称P(A)为事件 的概率。 #3u3WTk+
0CS^S1/[B`
(2)古典概型(等可能概型) PbxuD*LQ.
1° , *V#v6r7<Y/
2° 。 iKv`[k
设任一事件 ,它是由 组成的,则有 |57KTiiNLI
P(A)= = vE/g{~[5
^y'xcq
例1.18:集合A中有100个数,B中有50个数,并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个,抽到满足a+b=10的a,b的概率。 ^ L'8:
例1.19:5双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率为多少? GDw4=0u-
例1.20:在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者,则指定的4个座位被坐满的概率是 C0/s/p'
A. B. C. D. udtsq"U_%
例1.21:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的概率?(有序) }<7Dyn,
例1.22:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的概率?(有序) VOwt2&mZ
例1.23:3白球,2黑球,任取2球,2白的概率?(无序) s([9/ED
mXlXB#N
注意:事件的分解;放回与不放回;顺序问题。 ]W<E#^
]*j>yj.Y'~
4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯) G?\o_)IJ
(1)加法公式 _/ j44q
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) S<Q8kW:
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B) Hf+A52lrf
例1.24:从0,1,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: AKx\U?ei7
A="三个数字中不含0或者不含5"。 XOa<R
d hiLv_/
(2)减法公式 0uzis09
P(A-B)=P(A)-P(AB) n4YEu\*
当B A时,P(A-B)=P(A)-P(B) OH5
kT$
当A=Ω时,P( )=1- P(B) mmY~V:,Kd
例1.25:若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和P( + ). ({D.oS
例1.26:对于任意两个互不相容的事件A与B, 以下等式中只有一个不正确,它是: COv#dOw
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 +f\tqucI3
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) Oz^+;P1
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) e;x`C
nhk +9
(3)条件概率和乘法公式 SAs'u"EB
定义 设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称 为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为 。 W()FKP\??!
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 \s&w0V`Y
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) ]=9%fA
乘法公式: @SPmb o
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有 l,h#RTfry
… …… … 。 n$y1k D
IaE};8a8
例1.27:甲乙两班共有70名同学,其中女同学40名,设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率。 <y*#[:i
例1.28:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问以下事件的概率? /.'1i4Xa1P
①第一次打开;②第二次打开;③第三次打开。 8v1asFxs.
@l"GfDfL9
(4)全概公式 {ZbeF#*"
设事件 满足 x0.&fCh%
1° 两两互不相容, , %'\D_W&
2° , S7aS Ut!
则有 tRbZ^5x\@
。 .^@+$}
此公式即为全概率公式。 4TG|
)~d2`1zGS
C'n 9n!hR
例1.29:播种小麦时所用的种子中二等种子占2%,三等种子占1.5%,四等种子占1%,其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 kKE2~ q
例1.30:甲盒内有红球4只,黑球2只,白球2只;乙盒内有红球5只,黑球3只;丙盒内有黑球2只,白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球,它是红球的概率是: XF\`stEnb
A.0.5625 B.0.5 C.0.45 D.0.375 E. 0.225 Y+/ofk"
例1.31:100个球,40个白球,60个红球,不放回先后取2次,第2次取出白球的概率?第20次取出白球的概率? _?kf9 .
ddnWr"_
(5)贝叶斯公式 qFUpvTe
设事件 , ,…, 及 满足 1b6gTfU
1° , ,…, 两两互不相容, >0, 1,2,…, , ui9gt"qS`
2° , , >z^T~@m7l
则 H _3gVrP_
,i=1,2,…n。 wk9tJ#}
此公式即为贝叶斯公式。 \vQ_:-A
,( , ,…, ),通常叫先验概率。 ,( , ,…, ),通常称为后验概率。如果我们把 当作观察的"结果",而 , ,…, 理解为"原因",则贝叶斯公式反映了"因果"的概率规律,并作出了"由果朔因"的推断。 lS?f?n^
= 1}-]ctVn
例1.32:假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设 表示被检验者的确患有肝癌的事件, 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件,已知 , , 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌,求此人的确患有肝癌的概率 。 /f%u_ 8pV%
apY m,_
5、事件的独立性和伯努利试验 &~E=T3
(1)两个事件的独立性 ~d{E>J77j
设事件 、 满足 ,则称事件 、 是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。 sE/9~L
若事件 、 相互独立,且 ,则有 rEAPlO.Yp
WM@uxe,
所以这与我们所理解的独立性是一致的。 E&&