弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷作用下,使原为直线的轴线变为曲线的变形。 `X6JZxGyd
>H!Mx_fDL
^taN?5
15\m.Ix
梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁,简称梁。 }OL"38P
^AS\a4`/
弯曲bending `t&{^ a&Y"
S3E,0%yo+)
平面弯曲plane bending |)29"_Kk5
xi=ApwNj
e "A"
pn
gto
7.1.2梁的计算简图 qk1j mr
TZAd{EZa
载荷: `za,sRFR
8w&-O~M
(1)集中力 concentrated loads DPTk5o[
UJ)pae
(2)集中力偶 force-couple .$%p0Yx+
*h!fqT%9
(3)分布载荷 distributed loads \=AA,Il
_U<fS
'J|)4OG:
HU i?\4
7.1.3梁的类型 d9#Vq=H /
#]kjyT0
(1)简支梁simple supported beam 上图 xzm]v9k&
ttzNv>L,
(2)外伸梁overhanging beam z%%O-1
2}r=DAe0
W]9*dabem
<Ep L<K%
(3)悬臂梁cantilever beam w +t@G`d
rp||#v0l!w
hfaU-IPcFX
50W+!'
7.2 梁弯曲时的内力 )U?_&LY)[M
["Ltqgx
7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment _\}'5nmw\
2T~cOH;T
问题: d,V#5l-6
G^~[|a4`
任截面处有何内力? ,Of^xER`
Xv8-<Ks
该内力正负如何规定? ;Y$>WKsV
L>1hiD&
例7-1 图示的悬臂梁 AB ,长为 l ,受均布载荷 q 的作用,求梁各横截面上的内力。 &12KpEyf
6Dlm.~G
B7C3r9wj
xzOa9w/
求内力的方法——截面法 amu;grH
NXU:b"G
S
截面法的核心——截开、代替、平衡 qN)y-N.LI(
V&M*,#(?
内力与外力平衡 ~2w&+@dV%
3'0Pl8
解:为了显示任一横截面上的内力,假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。 <W80A J
d(T4Kd$r
pk/#RUfT+
{r,Uik-nL
梁发生弯曲变形时,横截面上同时存在着两种内力。 ,^UqE{
Nr~$i% [
剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。 BBB@M
N{;!xIv
弯矩 —— 位于纵向对称面内。 vk&
gR
J:L+q}A
剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。 {LO Pm1K8Y
MzJCiX^
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 z-5`6aE9<
HTJ2D@h
工程上一般梁(跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5),其剪力对强度和刚度的影响很小,可忽略不计,故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。 tnRf!A;m
7K1-.uQ
规定:使梁弯曲成上凹下凸的形状时,则弯矩为正;反之使梁弯曲成下凹上凸形状时,弯矩为负。 GM%+yS}(P
mL{P4a 1xf
}02`ve*
`Y#At3{
7.2.2弯矩图bending moment diagrams jwDlz.sW!
5Q?Jm~H9
弯矩图:以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置,纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。 @ _Ey"k<
_FY&XL=
例7-2 试作出例7-1中悬臂梁的弯矩图。 r]DiB:.
Fb5U@X/vE
解 (1)建立弯矩方程 由例7-1知弯矩方程为 }TmOoi(X@
jT{T#_
~RhUg~o
sgX!4wG&Z
(2)画弯矩图 #jQauO
GXtMX ha,
弯矩方程为一元二次方程,其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。 J7+G"_)'
jFj11w1FrA
<v_=k],W
~s!Q0G^G
例7-3 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力 F 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 =ejj@c
a1U|eLmUb
8M,*w6P
K}~$h,n
解 (1)求约束反力 4G c
M
cO~<iy
*@2Bh4
Z!1D4`w
(2)建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用,各横截面上的弯矩为x的一个连续函数,故弯矩可用一个方程来表达,而本例在梁的C点处有集中力F作用,所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。 VY0.]t
,=:K&5mCv
MtLWpi u@[
]pax,|+$C
XO <wK
例7-4 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力偶 M 0 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 "|SMRc
Z*%;;&?
2/LSB8n|
CLR1CGnn7
解 (1)求约束反力 k~Ex_2;#
O
VV@
z M9#1^X
m[9.'@ye
(2)建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用,所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。 =)[m[@,c
:
\+xXb{
=q4}(
3S0.sU~_U
(3)画弯矩图 rFRcK>X\L
U0~_'&Fe
两个弯矩方程均为直线方程 >
;,S||
T*z]<0E]
'wND
Xwm3# o.&)
.DCHc,DxA
l!mbpFt
0#,a#P
总结上面例题,可以得到作弯矩图的几点规律: )`\hK
8Bf>
(1)梁受集中力或集中力偶作用时,弯矩图为直线,并且在集中力作用处,弯矩发生转折;在集中力偶作用处,弯矩发生突变,突变量为集中力偶的大小 。 xY^sC56Z
7L{1S
v
(2)梁受到均布载荷作用时,弯矩图为抛物线,且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。 25Dl4<-Z
`ONjEl
(3)梁的两端点若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。 22`^Rsb,6L
)ZG;.j
7.3 梁纯弯曲时的强度条件 aF{_"X2
3o<d=@`r
7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts X 'Ss#s>g
)r2Y@+.FN
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 <$~lFV
^X=Q{nB
Q = 0,M = 常数。 [{znwK@
y+k_&ss
;[v!#+yml
!#tVQ2O
7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams R'Sd'pSDN
4CNrIF@
1.梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation: h)KHc/S
D*XrK0#Z`
P6:9o}K6
/WrB>w
平面假设: |Wh3a#
f98,2I(>`+
1)变形前为平面变形后仍为平面 $~/2!T_
|3*9+4]a
2)始终垂直与轴线 RJrz ~,}
Yh":>~k?SY
中性层 Neutral Surface :既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。 SK<Rk
{ZJO5*
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 z:Ml;y
m|a9T#B(
中性轴 Neutral Axis :中性层与横截面的交线。 bz4Gzp'6k
}u Y2-l
变形时横截面是绕中性轴旋转的。 Hq3|>OqC2Q
6K/RO)
2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 t&r.Kf9Z\
lSj
gN~:z
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 $^Fl*:6
Y[
G_OoU
由于梁横截面保持平面,所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 DD|0?i
]K=#>rZrB
/sE,2X*BT
;FPx
以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力为零 。 :cT)M(o
Pf*6/7S:
3.梁纯弯曲时正应力计算公式 ~P4C`Q1PT#
b/SBQ"B%
在弹性范围内,经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 K`4rUEf}V"
jk AjYR .
(!~cOx
~f/|bcep
式中, M 为作用在该截面上的弯矩( Nmm ); y 为计算点到中性轴的距离( mm ); Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩( mm 4 )。 S*h52li
<Vat@e
在中性轴上 y = 0 ,所以 s = 0 ;当 y = y max 时, s = s max 。 D!<F^mtl
Wh[QR-7Ew
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处, wu41Mz7
[BWq9uE
vwCQvt
3<0b_b
Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 ) rPV
Q#iB
)DSeXS[
e
计算时, M 和 y 均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还是压应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正,受压侧的为负。 (I[_}l
(`x_MTLL
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的,但对于剪切弯曲的梁,只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。 kB7vc>@1
mzgt>Qtkz=
7.3.3惯性矩和抗弯截面模量 !NXjax\r
P*|N)S)X%
%()d$.F
q!Du
J
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式 %go2tv:|W
X8Z?G,[H
)H8_.]|
t*{L[c9.Uq
7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件 ;Rrh$Ag
,+=9Rp`md
ke4E1T-1n
}V?m
=y [
对于等截面梁,弯矩最大的截面就是危险截面,其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力,具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。 #EzBB*kP
%b6$N_M{H1
梁的弯曲强度条件是 : 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 Dd3f@b[WX
th?+TNb^
运用梁的弯曲强度条件,可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。 -;""l{
{15j'Qwm
b IDUa
vgfC{]v<W]
7.4 提高梁强度的主要措施 7- B.<$uC
^_7|b[Bt
<I+k B^ Er
&,X}M
提高梁强度的主要措施是: H;Wrcf2
mG~_*8}e<
1)降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值 O[@!1SKT0
_jWs(OmJ
7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 3]Z1kB
XlmX3RU
1.合理安排梁的支承 Z%t_1t
~#-?V[
2.合理布置载荷 6FUW^dt
a)_3r]sv^
7.4.2合理选择梁的截面 YEL0h0gn
XJ18(Q|w'
1.形状和面积相同的截面,采用不同的放置方式,则 Wz 值可能不相同 xL}i9ozZ
BI'>\hX/V
2.面积相等而形状不同的截面,其抗弯截面模量 Wz 值不相同 w^yb`\$
cc@W
6W
3.截面形状应与材料特性相适应 aukcO;oG<
_y@28t
7.4.3采用等强度梁 (lk9](;L
Y]z
:^D
对于等截面梁,除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外,其余截面的应力均小于,甚至远小于许用应力。 TCr4-"`r-{
S}6Ld(_
为了节省材料,减轻结构的重量,可在弯矩较小处采用较小的截面,这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。 ^Hd[+vAvR
5NU{y+
等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力,则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。 y Zafq"o
在表1的公式(1)~(7)中 Ln"wjO,
p0——线荷载的最大值(kN/m),p0= &Mh.PzO=b
a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度; du65=w4E!
LC——计算跨度,LC=1.05L; CSM"Kz`
L——两相邻桩之间的净距; ?OD$`{1
q——承台梁底面以上的均布荷载。 AIF?>wgq
GO"`{|o
表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式 xc^@"
> p`,
asWk]jjMG
内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式 mH o#"tc
支座 qBA)5Sv\V
弯矩 (a)、(b)、(c) ,7{|90'V<
(1) GkGiQf4hh
u'YXI="(
(d) M=- (2) F%OP,>zl
|z-f8$
跨中 Y(Q
0m|3P
弯矩 (a)、(c) M= (3) Y:^hd809
S{c/3k~
(b) Hon2;-:]{]
(4) *a9cBl'_
/cjz=r1U>
(d) *"%TAe7?~+
M= (5) P/%7kD@5;
l|CM/(99-
最大 C @(@n!o:!
剪力 (a)、(b)、(c) _N DQ2O
Q= (6) Z
3BwbH
OO:S2-]Y>e
(d) bA;OphO(
Q= (7) !_QI<=X
a:FU- ^B4~
f|[7LIdh-
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(gt\R}
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