最小二乘法 最小二乘法历史简介 \}W3\To_
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 $N}t)iA
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 PN 8#T:E
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”。但因不为时人所知而默默无闻。 xyM|q 9Gf@
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。 !X$19"
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。（来自于wikipedia） +
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最小二乘法原理 /3^XJb$Sa
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 ezY^T
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
Y/I)ECm
其中：a0、a1 是任意实数 <]KQ$8dtD
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 nh5=0{va|L
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 3RGmmX"?G
把(式1-1)代入(式1-2)中得: ^VG].6
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) O $e"3^Pa
当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 EirZ}fDJzB
(式1-4) 73 .+0x
(式1-5) `[#id@Z1
亦即： uM_ww6
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) IvkY M`%
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 6)?u8K5%r
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： Dt(D5A
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) XMkRYI1 ~
a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9) PH:5
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 na~ FT[3 C
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 Ri_2@U-
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊ S2E z}*plp
在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 ~&RrlF h
从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. G'}N ?8s1
考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法. D84&=EpVZ
由极值原理得 , 即 0&I*)Zt9x
解此联立方程得 ^M q@} 0
(*) oOvQA W8`
问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度 ℃)对产品得率 (％)的影响, 测得数据如下: eIF6f&
F
温度 ℃) Dqc
GzTz
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 W !O/t^H>
得率 (％) %bF157X5An
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 $.d,>F6
(1) 利用“ListPlot”函数, 绘出数据 的散点图(采用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] ); T* 0;3&sA
(2) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 注意观察有何特征? (采用格式: Show[Graphics[Line[{ , , …, }]] , Axes->True ]) ; ||wi4T P
(3) 根据公式(*), 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序, 求经验公式 ; ;ZAwf0~
(程序编写思路为: 任意给定两个集合A (此处表示温度)、B(此处表示得率), 由公式(*)可定义两个二元函数(集合A和B为其变量)分别表示 和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示将加法施加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的个数, 即为n; A.B表示两集合元素相乘相加;A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.) /t7f5mA
(4) 在同一张图中显示直线 及散点图; g~.#.S ds
(5) 估计温度为200时产品得率. f sh9-iY8e
然而, 不少实际问题的观测数据 , , …, 的散点图明显地不能用线性关系来描叙, 但确实散落在某一曲线近旁, 这时可以根据散点图的轮廓和实际经验, 选一条曲线来近似表达 与 的相互关系. =M*pym]QSY
问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料, 今以 表示轿车的使用年数, (美元)表示相应的平均价格, 求 与 之间的关系. Nr$78] o9
使用年数 9@ fSO<
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > K,QP<B
平均价格 Y7p@NG&1q
2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 ]4[%Sv6]G
(1) 利用“ListPlot”函数绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征? = <Sn&uL
(2) 令 , 绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征? 1_f+!
ns#
(3) 利用“Line”函数, 将散点 连接起来, 说明有何特征? p o)lN[v
(4) 利用最小二乘法, 求 与 之间的关系; ak|
VnNa]
(5) 求 与 之间的关系; FI?J8a
(6) 在同一张图中显示散点图 及 关于 的图形. ~D|,$E tX4
思考与练习
H,GjPIG
1. 假设一组数据 : , , …, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合的有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定的数据集合 , 通过求解极值原理所包含的方程组, 不需要给出 、 计算的表达式, 立即得到 、 的值, 并就本课题 I /(3)进行实验. pKq[F*Lut
注: 利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合, 命令格式为: |X A0F\
先求A的转置, 然后取第一行元素, 即为数据A的第一个分量集合, 例如 1`L.$T,1!
(A即为矩阵 ) M$@~|pQ<
= (数据A的第一个分量集合) 9 m2FH~
= (数据A的第二个分量集合) 2 G*u v+=
B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合, 如 = . SDE+"MjBY
2. 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算 与 的值, 并与先前的结果作一比较. .(cpYKFX
注: Fit函数使用格式: )}N:t:rry
设变量为x, 对数据A进行线性拟合, 如对题1中的A拟合函数为:
