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第一章  随机事件和概率 ap,zC)[  
第一节  基本概念 D_G]WW8  
0.c96&
 
1、排列组合初步 )6eFYt%c  
（1）排列组合公式 .-[]po  
    从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 P.(z)
!]  
  从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 RRzLQ7J  
例1．1：方程 的解是 Fq`@sM$  
A．  4    B． 3    C． 2    D． 1 #WGyQu  
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ .4[M-@4+]  
Yv2L0bUo:  
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n qD/h/  
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 /<dl"PWkJv  
C4t~
k  
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n  A7eYKo q  
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 &vIj(e9Y  
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ Zu>CR_C  
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ |CK/-UG}  
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法    CK_\K,xVT  
A．120种        B．140种      C．160种            D．180种 +ZV?yR2yn  
lE*.9T  
=$ubSfx  
Q5IN1 ^=HF  
f9hH{(A  
(4)一些常见排列 :5jorVu  
①    特殊排列 (C%qA<6  
相邻 84s:cO  
彼此隔开 y+izC+  
顺序一定和不可分辨 !\5)!B  
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ jO`L:D/C  
①3个舞蹈节目排在一起； P(3$XMx  
②3个舞蹈节目彼此隔开； C\|HN=2eh  
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 @[n%q.|VB  
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ O<XNI(@  
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ Hl8\*#;C&>  
u!b0<E  
②    重复排列和非重复排列（有序） qSaCl6[Do  
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ "L9pFz</  
6c}n
P[6|  
③    对立事件 jtqU`|FSQ  
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ fv
G4K(  
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ -&QpQ7q1  
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ P%<MQg|k`  
0_t9;;y :  
④    顺序问题 ZKi?;ta=  
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） lvUWs  
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） (&/~q:a>  
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） yPH5/
5;,  
7qdB  
2、随机试验、随机事件及其运算 cQ0+kX<  
（1）随机试验和随机事件 B;Co`o2  
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 W@~a#~1O  
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 1NK,:m  
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： )xTu|V  
（1）    每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； d2g7,axi  
（2）    任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 CR-2>,*a9  
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 qc6d,z/  
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 qi8~bQ{rH  
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。 Ul:M=8nE%  
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。 !'=<u
U-  
    为必然事件，Ø为不可能事件。 `,FhCT5  
:/;;|lGw  
（2）事件的关系与运算 c2yZvi  
①关系： K!gocNOf  
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： `V?NS,@$  
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 {%X[Snv  
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 vGp`P  
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 pAcu{5#7  
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 IZxr;\dq6  
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。  L$[1+*  
②运算： '^.3}N{Fo  
结合率：A(BC)=(AB)C  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C RNX>I,2sh  
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)  (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) ~Ecx>f4nX  
德摩根率：      ，  ;.~D!  
Qs_]U  
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件： r#^uY:T%  
（1）两只球是颜色相同的事件 ， ~&+8m=   
（2）两只球是颜色不同的事件 ， N\x<'P4q  
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。  OC`Mzf%.  
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件： `(@{t:L  
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ， /qXP\ a  
（2）至少有一次正面朝上的事件 ， .+-7 'ux  
（3）前两次正面朝上的事件 。 /ASpAl[J  
3、概率的定义和性质 ,f[Oy:fr  
（1）概率的公理化定义 05;J7T<  
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： m>'#664q1  
1° 0≤P(A)≤1， }
M9I]\  
2° P(Ω) =1 <J!?eH9f  
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有 MN
KY J  
a.SxMF  
常称为可列（完全）可加性。 R%;dt<Dh
 
则称P(A)为事件 的概率。 *0%G`Q  
=M34 HPG  
（2）古典概型（等可能概型） [3(lk_t  
1°  ， ]U5/!e  
2°  。 P? LpI`f  
设任一事件 ，它是由 组成的，则有 E^V4O l<  
P(A)=  = :"Kr-Hm`  
  $`Aps7A  
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 k)S'@>n{u  
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ x]|-2t  
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 -2y>X`1Y  
A．                B．                  C．            D．  rh6m  
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） ]Hrw$\Ky  
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） mvGj !'  
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序） lhJZPnx~  
IsB=G-s  
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 (rjv3=9\3  
F2mW<REg{  
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） g}*F"k4j  
（1）加法公式
0%]F&|  
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) wRj&k(?*  
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) 1Ozy;;\-9  
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： 7bx!A+, t  
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。 Ea?u5$>gY"  
.V|o-~c  
（2）减法公式 nSh}1Arp/  
P(A-B)=P(A)-P(AB) TllIs&MCe  
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) BW&)Zz  
当A=Ω时，P( )=1- P(B) $rmfE  
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ). VeWvSIP,EQ  
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是： w:o,mzuXK  
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 hIMD2  
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) Y` tB5P  
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) Y'2 |GJc2  
Y@[Dy  
（3）条件概率和乘法公式 OG}m+K&<  
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为  。 e'1}5Ky  
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2$gOe^ &  
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) uY Y{M`  
乘法公式： p>GxSE)
 
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 jsnk*>j  
…  …… … 。 3+2cD  
cSs??i D"q  
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 tJ!s/|u(  
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ tu0agSpU  
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 B]|"ePj-  
}o MY  
（4）全概公式 ![4<6/2gy  
设事件 满足 uPveAK}h  
1° 两两互不相容， ， 'J"m`a8no  
2° ， <hSrx7o  
则有 )Y@mL/_  
。 gl~>MasV&  
此公式即为全概率公式。 _qQB.Dzo:  
HCTjFW>C  
WaYT7 :  
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 6Cd% @Q2cr  
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： Y1Qg|U o  
A．0.5625        B．0.5        C．0.45        D．0.375      E． 0.225 DKxzk~sOM  
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？