第一章 随机事件和概率 M9i u#6P
第一节 基本概念 0ogTQ`2 Z:
B,A/
-B\
1、排列组合初步 3 =S.-
（1）排列组合公式 dpE+[O_
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 %i96@ 6O
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 u' '(;U[
例1．1：方程 的解是 ho0T$ hB
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 xo]|m\#k5E
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ \K>6-0r|
[g%oo3`A
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n /FQumqbnt
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 "V^(i%E;
xvW+;3;
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n u9 ?85
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 4w\')@`[jk
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ {=& pnu\
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ N7[i443a
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 9oN b= .
A．120种 B．140种 C．160种 D．180种 bhFz u[B
f^',J@9@
M~^|dR)D
J%%nv5y
4 4cyD _(
(4)一些常见排列 :vm*miOF
① 特殊排列 xKIm2% U9
相邻 *}LYMrP
彼此隔开 7 Xw #
顺序一定和不可分辨 \N!k)6\
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ =0O`V Sb
①3个舞蹈节目排在一起； Wb^Yq qE
②3个舞蹈节目彼此隔开； 0OlB;
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 a P2
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ I]zCsT.
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 0Y[m h@(
b}axw +
② 重复排列和非重复排列（有序） 3F<My+J
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ W 4X=.vr
<@JK;qm>S
③ 对立事件 e)GFJ3sW_
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 02b v0
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ $+
lc;N
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ R ]HHbD&;
{Pdy KgM
④ 顺序问题 vrQ/Yf:\B
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） XlR.Y~
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） bW[Y:} Hk~
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） <Ms,0YKx
P T|t6V"wd
2、随机试验、随机事件及其运算 \_0nH`
（1）随机试验和随机事件 `WX @1 ]m
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 LzP+l>m
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 0~)cAK us
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： L%I@HB9-Q0
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； n:' Mpux
（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 1Hk`i%
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 ^jq QG+`?
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 ':6`M
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。 #r >
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。 RCg Z GP
为必然事件，Ø为不可能事件。 0c
/xE<h
c? >@P
（2）事件的关系与运算 IL*C/y
①关系： o[&*v c)
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： YyjnyG
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 | *K AqTO0
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 R~PD[.\u
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 2E;UHR
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 tg.[.v Ks
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 {OH "d
②运算： T}M!A|
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C v[A)r]"j"M
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 2tMe# V
德摩根率： ， |W:xbtPNy
bM+}j+0
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件： luY#l!mx3
（1）两只球是颜色相同的事件 ， ..)O/g .
（2）两只球是颜色不同的事件 ， *@^9 ]$*$
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。 ViKN|W >T
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件： g\ilK:r}
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ， P uYAoKG
（2）至少有一次正面朝上的事件 ，
_xjw:
（3）前两次正面朝上的事件 。 (_Ph {IN
3、概率的定义和性质 A]c'`Nf
（1）概率的公理化定义 wx S.!9 K
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： PFq1Zai}n|
1° 0≤P(A)≤1， .hPk}B/KV
2° P(Ω) =1 6QO[!^lY
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有 N`,ppj
J2W#vFe\
常称为可列（完全）可加性。 KxhMPvN'
则称P(A)为事件 的概率。 q|r^)0W
vgKZr
（2）古典概型（等可能概型） (_1(<Jw
1° ， H QGn[7JW
2° 。 |zd+
\o
设任一事件 ，它是由 组成的，则有 = hL;Q@inb
P(A)= = m~c6b{F3Z-
" {>BP$Jz
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 vLCyT=OB`
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ {8p<iY- %
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 !p
#m?|Km
A． B． C． D． w>S;}[fM
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） nM#/uuRl|
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） \Hb"bv
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序） r`-=<@[
Wz{,N07Q#{
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 N_L ~oX _
5y^I~"_ i
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） Z #uxa
（1）加法公式 e\)r"!?H`
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) <<WqL?8W
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) ? $$Xg3w_#
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： )@(IhU )
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。 yr vV<}
*3@ =XY7
（2）减法公式 r_>]yp
P(A-B)=P(A)-P(AB) -< 0xS.^
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) S(2_s,J^
当A=Ω时，P( )=1- P(B) {3Y
R_^>?
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ). d%,@,>>)
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是： >uLWfk+y1
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 >dK# tsp
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) d#(ffPlq
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) 3R>"X c
K]SsEsd
（3）条件概率和乘法公式 F% < ZEVm
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。 .RW&=1D6
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 dp}s]`x+
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) N++ ;}j
乘法公式： R,8 W7 3
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 L$t.$[~L
… …… … 。 ) S zn,
S\M+*:7
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 - y|*x-iZ
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ l~ Hu#+O
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 A<}nXHs-
^#gJf*'UE
（4）全概公式 w<LV5w+
设事件 满足 */'j [uj
1° 两两互不相容， ， <s=i5t
My5
2° ， Bv xLbl}
则有 !&adO,jN+=
。 Nr"gj$v
此公式即为全概率公式。 H# H[8#
VX:Kq<XwQ
sa?s[
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 @rP#ktz]
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： j4wsDtmAU
A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225 k
1l K`p
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
