弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷作用下,使原为直线的轴线变为曲线的变形。 ,U_p6TV5
S^}@X?v
RIXUzKLO
FsrGI
(x?
梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁,简称梁。 :-xF=Y(;
S<Zb>9pl
弯曲bending Og8:
R8
1z|+c|_
平面弯曲plane bending |2,'QTm=
l@-J&qG
OSc&n>\t
s_} 1J,Y
7.1.2梁的计算简图 5Qb%g)jZ
}]cKOv2
载荷: `>^2MHF3LT
)L?JH?$C
(1)集中力 concentrated loads W(N@`^
ZJz6{cY
(2)集中力偶 force-couple (;^VdiJ
)M5:aSRz
(3)分布载荷 distributed loads q5il9*)d(
x%kS:!
$j(2M?.>#
q.L0rY!
7.1.3梁的类型 ]HoQ6R\E b
Z_&6<1,H
(1)简支梁simple supported beam 上图 Fwn4c4-%
{9wBb`.n^
(2)外伸梁overhanging beam Z/=x(I0
Pyc/6~?
{b4+ Yc
31b9pi}nf
(3)悬臂梁cantilever beam Rg! [ic !
"g7`Ytln
q7-Eu4w
uQ4WM
7.2 梁弯曲时的内力 \D8d!gr
v%t "N
7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment $N[-ks2{@
q|)8VmVV
问题: &f1dCL%z7
E7E>w#T5
任截面处有何内力? g0w<vD`<g
$0rSb0[
该内力正负如何规定? A!}Wpw%(/
Lx&2)
例7-1 图示的悬臂梁 AB ,长为 l ,受均布载荷 q 的作用,求梁各横截面上的内力。 \N1G5W
c!@g<<}[(
)ymd#?wq
.%>UA|[~:
求内力的方法——截面法 kb>:M.
Q5'DV!0aSv
截面法的核心——截开、代替、平衡 oy90|.]G
3{o5AsVv
内力与外力平衡 +JE
h7
<6k5nEh
解:为了显示任一横截面上的内力,假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。 /I~iUND"G
2[i:bksjW
cPe0o'`[
HpI[Af}l
梁发生弯曲变形时,横截面上同时存在着两种内力。 mq@2zE`.(
7B
GMG|
剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。 ,ZyTYD|7
<F!On5=W*
弯矩 —— 位于纵向对称面内。 OF^v;4u
9I*zgM!F
剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。 F)4Y;;#
(xffU%C^
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 {<7!=@j
r
(Ab+1b
工程上一般梁(跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5),其剪力对强度和刚度的影响很小,可忽略不计,故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。 ?[Xv(60]
a5o&6_
规定:使梁弯曲成上凹下凸的形状时,则弯矩为正;反之使梁弯曲成下凹上凸形状时,弯矩为负。 0ts]
iQ7
]Bw2>6W
0sW=;R2
OgjSyzc
7.2.2弯矩图bending moment diagrams H3T4v1o6
ON~jt[
弯矩图:以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置,纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。 fw@n[u{~
'6*^s&H~
例7-2 试作出例7-1中悬臂梁的弯矩图。 2<Lnfc<^k
3A2X1V"
解 (1)建立弯矩方程 由例7-1知弯矩方程为 |- 39ZZOX
qX[a\HQa
]v7f9MC'\
+ZeHZjd
(2)画弯矩图 'Dyt"wfo
`(A>7;]:
弯矩方程为一元二次方程,其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。 }
y@pAeS,
omQaN#!,
C5;=!B
\O
9j+L"
例7-3 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力 F 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 7a.$tT
,a&N1G.
zg,?aAm
Rk8>Ak(/
解 (1)求约束反力 4R-Y9:^t
]Ga}+^
8/X#thG
qh;ahX~
(2)建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用,各横截面上的弯矩为x的一个连续函数,故弯矩可用一个方程来表达,而本例在梁的C点处有集中力F作用,所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。 4PUSFZK?
w[@>k@=
7!Z\B-_,
&U:bRzD
:lQl;Q -e
例7-4 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力偶 M 0 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 p$dVGvM(
Hm@+(j(N96
k4iu`m@^H
WT$m*I
解 (1)求约束反力 !|K~)4%rj
Z+h^ ie"g
/7#KkMg
-.=q6N4
(2)建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用,所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。 k@nx+fO}P
T-x1jC!B'
sev^
BG!;9Z{u
(3)画弯矩图 '3B`4W,
F/z$jj)
两个弯矩方程均为直线方程 L<bZVocOb_
Onoi^MDy
,@"Z!?e
ZzET8?8
S\2QZ[u
txM R[o_
sU"D%G
总结上面例题,可以得到作弯矩图的几点规律: %''z~LzJ8
MJsz
(1)梁受集中力或集中力偶作用时,弯矩图为直线,并且在集中力作用处,弯矩发生转折;在集中力偶作用处,弯矩发生突变,突变量为集中力偶的大小 。 dj,7lJy
9{bG @g
(2)梁受到均布载荷作用时,弯矩图为抛物线,且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。 p@`rBzGp
w8E6)wF=7
(3)梁的两端点若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。 !<\"XxK+l
@cNBY7=
7.3 梁纯弯曲时的强度条件 SiJ0r
@
~qe9U 0
7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts wWs<{ T
b(wzn`Z%Et
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 VP^Yph 8R
=Ly7H7Q2
Q = 0,M = 常数。 $c4Q6w
O<nJbsl_w
c]:sk[u
EacqQFErl
7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams '^pA%I2D
KfpDPwP@
1.梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation: No8~~
PGZ.\i
.ruGS.nS4
b5u_x_us|
平面假设: \q#s/&b
HPVW2Y0_N
1)变形前为平面变形后仍为平面 o3*IfD
(3z: ;
2)始终垂直与轴线 IgH[xwzy[
It,m %5
Py
中性层 Neutral Surface :既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。 Ql8E9~h
|eT?XT<=o
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 q
H&7Q{
(XYYbP
中性轴 Neutral Axis :中性层与横截面的交线。 P7r?rbO"
`c@KlL*!Q
变形时横截面是绕中性轴旋转的。 fF!Mmm"
AD$k`Cj
2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 R:SFj!W1
Rz%
Px:M
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 [OJ@{{U%
K%9PIqK?4
由于梁横截面保持平面,所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 AnVj
'3
v w$VRPW
.&d]7@!qy
@=ABO"CQ
以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力为零 。 >xu}eWSz
QW :-q(s
3.梁纯弯曲时正应力计算公式 0JTDJZOz@#
O[[:3!6q
在弹性范围内,经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 h_6QVab@
hl}@ha4'
pQr `$:ga
xi=Z<G
式中, M 为作用在该截面上的弯矩( Nmm ); y 为计算点到中性轴的距离( mm ); Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩( mm 4 )。 5^'PjtW6
I=)Hb?qT~
在中性轴上 y = 0 ,所以 s = 0 ;当 y = y max 时, s = s max 。 F[/Bp>P7
lV!ecJw$
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处, &$uQ$]&H
\eD#s
3c] oU1GfF
Sd?:+\bS;
Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 ) \M^L'Mkj
{`fhcEC
计算时, M 和 y 均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还是压应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正,受压侧的为负。 i-!Z/,oL
`?VtB!p@x=
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的,但对于剪切弯曲的梁,只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。 :Bc)1^I
1c);![O
7.3.3惯性矩和抗弯截面模量 ~5$V8yfx h
g2%&/zq/
X~XpX7d!
4"72
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式 Z\8TpwD2
qH'T~#S
a>A29*q
S)Cd1`Gf
7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件 $7~k#_#PC
ws9F~LmLbr
*44^M{ti<
l]RO'
对于等截面梁,弯矩最大的截面就是危险截面,其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力,具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。 3Gi#WV4$
D%k%kg0,
梁的弯曲强度条件是 : 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 vtw{
A}
g[fCvWm#d
运用梁的弯曲强度条件,可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。 @f442@_4
f h05*]r
]CyWL6z
NYtp&[s2-
7.4 提高梁强度的主要措施 s>d@=P>R
$
hwJjSZ0
4L#q?]$
A `\2]t$z
提高梁强度的主要措施是: nokk!v/
td-2[Sy
1)降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值 @dE|UZ=(
9d{iq"*R
7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 FyYD7E
{>[,i`)
1.合理安排梁的支承 cE[B
(e
2ILMf?}
2.合理布置载荷 TS+itU62
z7'3d7r?
7.4.2合理选择梁的截面 2\&uO
K(RG:e~R0i
1.形状和面积相同的截面,采用不同的放置方式,则 Wz 值可能不相同 ]~~PD?jh
UO^"<0u
2.面积相等而形状不同的截面,其抗弯截面模量 Wz 值不相同 ;taTdzR_
1iBOf8
3.截面形状应与材料特性相适应 5Z{i't0CQ
.Ymoh>JRL
7.4.3采用等强度梁 +')\,m "z
nxH=Ut7{
对于等截面梁,除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外,其余截面的应力均小于,甚至远小于许用应力。 {8D`A;KD
-U;2
b_
为了节省材料,减轻结构的重量,可在弯矩较小处采用较小的截面,这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。 I3uS?c
dr3#?%
等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力,则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。 :-HVK^$%
在表1的公式(1)~(7)中 i-Ck:-J
p0——线荷载的最大值(kN/m),p0= 6W&huIQ[
a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度; IB#L5yN r
LC——计算跨度,LC=1.05L; `hYj0:*)S$
L——两相邻桩之间的净距; >?K@zsv}
q——承台梁底面以上的均布荷载。 xaQ]Vjw
eqD|3YX
表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式 -g8G47piX:
9%aBW7@SK
A&_H%]{<:
内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式 AcV 2l
支座 &~oBJar
弯矩 (a)、(b)、(c) (+}H
ih
(1) wi/Fx=w
,Cx @]]
(d) M=- (2) [#S[=%
c!l=09a~a+
跨中 }$5S@,
弯矩 (a)、(c) M= (3) W0%cJ8~
<PL94
(b) SwHrHj
(4) V'(yrz!
7+wy`xi
(d) /IS_-h7>XS
M= (5) ^eke,,~
``?]13XjK
最大 3u+A/
剪力 (a)、(b)、(c) WVDkCo@
Q= (6) E0QrByr_
@R%n &
(d) vd`;(4i#X
Q= (7) Htd-E^/
KhK:%1po
Gkci_A*
@-y.Y}k#$~
UMsJg7~
5tUp[/]pl
图1 计算简图 h^ wu8E
^PDz"L<*
a0按下式计算: \xD.rBbt
中间跨 (8) %D|p7&
,r\
边 跨 (9) 2LS03 27
其中 EC——承台梁砼弹性模量; Do-~-d4
EK——墙体的弹性模量; Z_vIGH|1
I——承台梁横截面的惯性矩; fWo}gH~
bK——墙体宽度。 #~]S
当承台梁为矩形截面时,I=bh3 SSH))zJ
则: 中间跨 a0=1.37h (10) Y'tPD#|r
i>Wsc?
边 跨 a0=1.05h (11) ?K9&ye_rgw
其中 b、h——分别为承台梁的宽度和高度。
hUy"XXpr
表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。 82ay("ZY
(1)跨中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0=LC代入式(4)即可得式(5)。当a0<时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。 c*LB=;npI
令β=,并将P0==代入式(3)和式(4) q~_DR4xZ
得: M=β2qL2C (13) It$'6HV~Sb
(14) +>BLox6
将上两式统一表示为: ph*9,\c8
akg$vHhK4
M=A0qL2C (15) .bcoH
Y*0AS|r!
式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)~(d)所示的四种受力简图。 98 dl -?
(2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。 t[$C r;
将β=和P0==代入式(1) $80TRB#
得 M=β(2-β) (16) n.+%eYM<
或 M=B0qL2C (17) 0X6|pC~
(3)弯矩系数A0、B0 v%gkQa
跨中弯矩 M=A0qL2C (15) 9K~0:c
支座弯矩 M=B0qL2C (17) h/`]=kCl
其中 A0、B0——弯矩系数,分别为: xZ'-G6O
"~
β=≤0.5,A0=β2 y(gL.08<
β>0.5时,A0=β :iW+CD)j
B0=-β(2-β) zJC!MeN
A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。 !EO*xxQ
f;os\8JdM
表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数 s|*0cK!K^
L9(mY `d>"
cE(P^;7D
β 内 力 系 数 β 内 力 系 数 7wKN
A0 B0 A0 B0 45g:q
0.10 0.00083 -0.01583 0.56 0.02590 -0.06720 !h\.w9o[
0.12 0.00120 -0.01880 0.58 0.02753 -0.06863 2>%|PQ
0.14 0.00163 -0.02170 0.60 0.02907 -0.07000 ?\|QDJXY
0.16 0.00213 -0.02453 0.62 0.03053 -0.07130 -J7BEx
0.18 0.00270 -0.02730 0.64 0.03190 -0.07253 ?#N:
a
0.20 0.003331 -0.03000 0.66 0.03317 -0.07370 kn2s,%\`<p
0.22 0.00403 -0.03263 0.68 0.03433 -0.07480 2% ],0,o
0.24 0.00480 -0.03520 0.70 0.03539 -0.07583 @PH`Wn#S
0.26 0.00563 -0.03770 0.72 0.03635 -0.07680 xi5G?r
0.28 0.00653 -0.04013 0.74 0.03722 -0.07770 PeD>mCvL"
0.30 0.00750 -0.04250 0.76 0.03799 -0.07853 ]B8`b
0.32 0.00853 -0.04480 0.78 0.03867 -0.07930 04;E^,V
0.34 0.00963 -0.04703 0.80 0.03927 -0.08000 SP}!v5.
0.36 0.01080 -0.04920 0.82 0.03979 -0.08063
UZJ^e$N
0.38 0.01203 -0.05130 0.84 0.04023 -0.08120 L'1!vu *Rg
0.40 0.01333 -0.05333 0.86 0.04061 -0.08170 SZVNu*G!H
0.42 0.01470 -0.05530 0.88 0.04091 -0.08213 K&T[F!
0.44 0.01613 -0.05720 0.90 0.04116 -0.08250 wm1`<r^M.
0.46 0.01763 -0.05903 0.92 0.04136 -0.08280 b)+nNqY|
0.48 0.01920 -0.06080 0.94 0.04150 -0.08303 .`./MRC
0.50 0.02083 -0.06250 0.96 0.04159 -0.08320 1Q[I$=-F
0.52 0.02252 -0.06413 0.98 0.04165 -0.08330 (i..7B:
0.54 0.02423 -0.06570 1.00 0.04167 -0.08333 c*>8VW>
}STTDq4
式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。剪力计算公式较简单,仍采用原公式。 4oxAC; L
&6ymGo
3 算例(文献〔3〕) n1yIQ8F
Ep>} S
五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。承台梁底面以上荷载为:横墙q=142.9kN/m;外纵墙q=85.0kN/m。试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。 =rL%P~0wq
W4MU^``
I8ZBs0sfF{
zG
IxmJ.
图2 单元桩基平面图 1f3c3PJ
gX29c
解: EKQ\MC1
1.外纵墙下承台梁 r{+P2MPW
承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。 QMO.Bnek
EC=2.55×104N/mm2 =@e3I)D#?i
EK=1500f qr$h51C&
=1500×1.37 Os)jfKn2
=2055N/mm2 4gR;,%E\TO
(f——墙体抗压强度设计值) @k+&89@G
LC=1.05L=1.05(1.65-0.32) &TgS$c5k
=1.40m<1.65m q4y P\B
承台梁尺寸400mm×300mm exW|c~|m{A
(1)中间跨 =()Vrk|uK
a0=1.37h D*T*of G
=1.37×300=977mm E`0mn7.t
β===0.698 :mYVHLmea
查表2,得:A0=0.03536 c{"=p8F_
B0=-0.07581 azK7kM~
则:跨中弯矩 [P:+n7= ,l
M=A0qL2C=0.03536×85×14002 io&FW!J.
=5.89×106N.mm |B{@noGX
支座弯矩 fBj-R~;0
M=B0qL2C=-0.07581×85×14002 MUQj7.rNa
=-12.63×106N.mm + *xi&|%
(2)边跨 =1MVF
a0=1.05h H18.)yHX
=1.05×300=747mm ]Rk4"i
β===0.534 ` x|=vu-
查表2,得:A0=0.02372 .}n-N
#
B0=-0.06525 19h@fA[:
则:跨中弯矩 7\0}te
M=A0qL2C=0.02372×85×14002 a,ff8Qm
=3.95×106N.mm 5%r:hO @S
梁端支座弯矩 MA=0 OrC}WMhd
第二支座 *JD-|mK
MB=B0qL2C=-0.06525×85×14002 4Tdp;n\F
=-10.9×106N.mm ]z77hcjB1
*\$m1g7b
C%RYQpY*c
!B*l'OJw
+nAbcBJAl
图3 纵墙承台梁计算简图 4*U5o!w1{
ur$=%3vM
2.横墙下承台梁(近似按中跨计算) (IXUT6|
承台梁尺寸350mm×300mm VY#nSF`
LC=1.05L=1.05(1.2-0.32) #ETy#jKL
=0.92m<1.2m E4QLXx6Wa&
a0=1.37h=1.37×300=1079mm ,K WIuCU;
β=>1.0 取β=1.0 {P{h|+;
查表2,得:A0=0.04167 Tr@|QNu
B0=-0.08333 GQH15_
跨中弯矩
M*gbA5
M=A0qL2C=0.04167×142.9×9202 ln1!%B;
=5.0×106N.mm 6*&$ha}X
支座弯矩 F
tS"vJ\
M=B0qL2C=-0.08333×142.9×9202 m[}@\y
=-10.1×106N.mm ljP<WD
剪力计算较简单,略。 B?nw([4m
(=-6'23q)
4 结语 `GUGy.b
"Snt~:W>
通过上述分析与计算可以看出,本文提出的计算方法较《建筑桩基技术规范》(JGJ94—94)法形式简捷,计算简便,是一个实用的方法。