弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷作用下,使原为直线的轴线变为曲线的变形。 !uwZ%Uxz
[^4)3cj7}
sS5: 5i
>|S&@<
梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁,简称梁。 +>uiI4g
;@R=CQ6
弯曲bending ?=\&O=_ln
eXdE?j
平面弯曲plane bending _'"whZ)2
QSxR@hC
5!pof\/a
X/l{E4Ex
7.1.2梁的计算简图 ZFNn(n
>.)m|,
载荷: Arzyq_ Yk
c4'k-\JvT
(1)集中力 concentrated loads d@ ?++z
yK3b^
(2)集中力偶 force-couple L~u@n24
6?C|pO
(3)分布载荷 distributed loads 1'G&PX
+=Q/'g
S);SfNh%CL
th?w&;L
7.1.3梁的类型 7ZsBYP8%
UHh7x%$n
(1)简支梁simple supported beam 上图 \(db1zmS~
#!i&
(2)外伸梁overhanging beam vTdJe
..5rW0lr
PS=N]e7k'
&Oih#I
(3)悬臂梁cantilever beam nbECEQ:|B
sBLf(Q,
\69h>h
Zr%,F[j?
7.2 梁弯曲时的内力 K#e&yY
R;]z/|8
7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment ip`oL_c
7`c\~_Df_
问题: ^z%ShmM&LZ
Hv~&RZpe
任截面处有何内力? FZ0wtS2
qz@k-Jqq
d
该内力正负如何规定? P~H?[
;
;;zQV D )X
例7-1 图示的悬臂梁 AB ,长为 l ,受均布载荷 q 的作用,求梁各横截面上的内力。 P d"=&Az|
l
7XeZ} S
{|E'
4.7 PL
求内力的方法——截面法 Z?);^m|T
R'udC}
截面法的核心——截开、代替、平衡 !pqfx93R*
.EF(<JC?
内力与外力平衡 [@&0@/s*t'
U_8 Z&
解:为了显示任一横截面上的内力,假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。 qq,#bRe
y$Rr,]L
s
IE2a0+
^]cl:m=*
梁发生弯曲变形时,横截面上同时存在着两种内力。 Xj Rk1~
0eP ]
剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。 e` QniTkT
.T63:
弯矩 —— 位于纵向对称面内。 S /kM#
=Lc!L
!(,b
剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。 1LK`
zarxv|
}$
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 &&daQg4Ha
,Hzz:ce
工程上一般梁(跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5),其剪力对强度和刚度的影响很小,可忽略不计,故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。 cUH.^_a
1z6$>{FUR
规定:使梁弯曲成上凹下凸的形状时,则弯矩为正;反之使梁弯曲成下凹上凸形状时,弯矩为负。 +&*D7A>~p
RnaxRnXVR
d5z=fH9
n`Y"b&
7.2.2弯矩图bending moment diagrams 2I@d=T{K
%2;Nj;
J$
弯矩图:以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置,纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。 Q:5^K
l+vD`aJ 3
例7-2 试作出例7-1中悬臂梁的弯矩图。 x* 9 Xu"?
e2><Y<
解 (1)建立弯矩方程 由例7-1知弯矩方程为 W0 n?S
"
"PD^]m
C$+z1z.!
Km)VOX[ZZ
(2)画弯矩图 Z0'&@P$
AL;z's(F?
弯矩方程为一元二次方程,其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。 F{*h~7D-|
..K@'*u
JqmxS*_P
X 3dXRDB'
例7-3 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力 F 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 q^ w@l
P2!+ZJ&
!S3^{l-
F<+!28&h
解 (1)求约束反力 mp:xR ^5c
iCtDV5
3!u`PIQv
J85S'cwZZ
(2)建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用,各横截面上的弯矩为x的一个连续函数,故弯矩可用一个方程来表达,而本例在梁的C点处有集中力F作用,所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。 cp)BPg
w:VD[\h
(B^rW,V[R
tgVMgu
`w_%HVw>"
例7-4 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力偶 M 0 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 $ o
}
k6$Ft.0d1Z
Pxvf"SXX
r6QshCA"
解 (1)求约束反力 ib\_MNIb
;Zy[2M
{6tj$&\)
qN"Q3mU^h*
(2)建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用,所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。 <0!O'" "J
II'"Nkxd
! }>CEE
=G9I7Y@
(3)画弯矩图 0g`$Dap
;I/ A8<C
两个弯矩方程均为直线方程 h.*v0cq:
2;w`W58
kRb %:*
^?8/9o
Q@
Ze+IhK`
X5tx(}j
,(A
$WT@e
总结上面例题,可以得到作弯矩图的几点规律: Fy$f`w_H@
~JS BZ@
(1)梁受集中力或集中力偶作用时,弯矩图为直线,并且在集中力作用处,弯矩发生转折;在集中力偶作用处,弯矩发生突变,突变量为集中力偶的大小 。 o* ~aB_
6Vj=SYK
(2)梁受到均布载荷作用时,弯矩图为抛物线,且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。 %6W%-`
%XBMi~
(3)梁的两端点若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。 !+u
K@z&G
7|PB6h3
7.3 梁纯弯曲时的强度条件 WS ^,@>A
.Im=-#EN
7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts ]5r@`%9
mIZ6[ ?
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 x']Fe7nv
Gsu?m
Q = 0,M = 常数。 ri%j*Kn
RKPX*(i~
ka_(8
jVPX]8
7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams c`@";+|r
w,az{\
1.梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation: U,K=(I7OBX
bO` SBq$
hXh nJ
ALQ-aXJ
平面假设: w>o/)TTJL
bXi!_'z$
1)变形前为平面变形后仍为平面 cgi:"y F
cLf<YF
2)始终垂直与轴线 K3iQ/j~a q
X;1yQ|su
中性层 Neutral Surface :既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。 9:P\)'y?
A5T&i]
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 '3b'moy
\10KIAQ
中性轴 Neutral Axis :中性层与横截面的交线。 x5|^p=
n?778Wo}
变形时横截面是绕中性轴旋转的。 ?<` ;lu/eL
[MuZ^'dR
2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 6>]w1
H
=4$ErwI_dm
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 Z(t7QFd
xnfJruT
由于梁横截面保持平面,所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 uBl&{$<
BwkY;Ur/AL
K)9Rw2-AJ
*M)M!jTv
以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力为零 。 y 2)W"PuG
c5_/i7
3.梁纯弯曲时正应力计算公式 :(\JY?+w
Eq%f`Qg+1E
在弹性范围内,经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 ' 55G:r39
I~;w Q
pC]XbokES
(:I]v_qEYS
式中, M 为作用在该截面上的弯矩( Nmm ); y 为计算点到中性轴的距离( mm ); Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩( mm 4 )。 ez5J+
1F_$[iIX]
在中性轴上 y = 0 ,所以 s = 0 ;当 y = y max 时, s = s max 。 inFS99DKx
Sn0kJIb
}
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处, ,5x#o
Cv@)tb
JA*+F1s
{-lpYD^k3
Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 ) !,dp/5
V
8{i
O#C
计算时, M 和 y 均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还是压应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正,受压侧的为负。 zn>+\
):_@i
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的,但对于剪切弯曲的梁,只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。 vz~Oi
Q:|W/RD~
7.3.3惯性矩和抗弯截面模量 @dUN3,}
rvlvk"
3vKTCHbk9
J?dLI_{<
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式 2e-`V5{)b
/z_]7]
@H<*|3J
OLqV#i[K#9
7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件 b8_F2
tS>^x
KIi:5Y
]B UirJ,2
对于等截面梁,弯矩最大的截面就是危险截面,其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力,具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。 uIbAlE
[}M!ez
梁的弯曲强度条件是 : 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 ^vPsp?
O5aXa_A_u
运用梁的弯曲强度条件,可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。 5.*,IedY
4y#XX[2Wj
co~NXpqg
0>8w On
7.4 提高梁强度的主要措施 ggL/7I(
Q`W2\Kod]
,<* I5:
,l6,k<
提高梁强度的主要措施是: bU}v@Uk
BM/o7%]n
1)降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值 3LT~-SvL
.>eR X%
7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 XPU>} 4{
I/XSW #
1.合理安排梁的支承 @ ?M\[qeF@
{x?qz~W
2.合理布置载荷 uDP:kM
p<{P#?4 g
7.4.2合理选择梁的截面 +]nIr'V
gHp*QL\?9
1.形状和面积相同的截面,采用不同的放置方式,则 Wz 值可能不相同 eb}P/
*!ng)3#
2.面积相等而形状不同的截面,其抗弯截面模量 Wz 值不相同 j<P;:
e.skE>&
3.截面形状应与材料特性相适应 3i7EF.
F_(~b
7.4.3采用等强度梁 p<=Lh47 =
}L)[>
对于等截面梁,除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外,其余截面的应力均小于,甚至远小于许用应力。 c)LG+K
DtFHh/X
为了节省材料,减轻结构的重量,可在弯矩较小处采用较小的截面,这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。 xa@$cxt
@<{%r
等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力,则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。 D>[Sib/@
在表1的公式(1)~(7)中 T{k_3[{0o
p0——线荷载的最大值(kN/m),p0= RARA _tii
a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度; uQKQC?w
LC——计算跨度,LC=1.05L; @t~y9UfF
L——两相邻桩之间的净距; W`_JERo
q——承台梁底面以上的均布荷载。 jwT` Z
CYLab5A
表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式 P*A+k"DU1
W06#|8,{v
XZ~kXE;B(
内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式 3fhY+$tq
支座 ?a3wBy
弯矩 (a)、(b)、(c) %*}rLn"?
(1) D9[19,2r`
_i}b]xfM
(d) M=- (2) A{
~D_q
Tj#S')s8
跨中 Tc/^h4xH
弯矩 (a)、(c) M= (3) JI[8n$pr]
?E"192,z@
(b) hHN[K
(4) lG\uJxV
7h}gIm7e"
(d) >)u;X
M= (5) "D
_r</b
x[)-h/&Fh
最大 J)>DsQ+Cj
剪力 (a)、(b)、(c) #\w N2`" W
Q= (6) %-!%n=P
hK3-j;eg
(d) 5[jcw`
Q= (7) %-blx)Pc
SG)Fk *1
Ze~P6
bE/|&8
SYYx>1;8`
k_,7#:+
图1 计算简图 x 4+WZYv3
iz# R)EB/g
a0按下式计算: b^$`2m-?@f
中间跨 (8) G0UaE1n
~i"=:D
边 跨 (9) Pp-N2t86#2
其中 EC——承台梁砼弹性模量; ?Ts]zO%%Z
EK——墙体的弹性模量; |O_JUl
I——承台梁横截面的惯性矩; v:P]o9Oj8
bK——墙体宽度。 E2'Wzrovlo
当承台梁为矩形截面时,I=bh3 ;_I>`h"r
则: 中间跨 a0=1.37h (10) 9jTBLp-i#N
}#FV{C]
边 跨 a0=1.05h (11) ]ZcivnN#
其中 b、h——分别为承台梁的宽度和高度。 o~~;I
表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。 $Y|OGZH8E
(1)跨中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0=LC代入式(4)即可得式(5)。当a0<时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。 @KTuG ?.
令β=,并将P0==代入式(3)和式(4) ;
BN81;
得: M=β2qL2C (13) w0_P9g:
(14) ,%TBW,>
将上两式统一表示为: _u[tv,
O`~#X w
M=A0qL2C (15) $Q/@5f'T`9
=HCEUB9Fs
式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)~(d)所示的四种受力简图。 rE+B}O
(2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。 r tuaU=U
将β=和P0==代入式(1) [<#jK}g
得 M=β(2-β) (16) lnyb4d/
或 M=B0qL2C (17) @wR3L:@
(3)弯矩系数A0、B0 ,W}:vdC
跨中弯矩 M=A0qL2C (15) `j>5W<5q\
支座弯矩 M=B0qL2C (17) |SkQe[t
其中 A0、B0——弯矩系数,分别为: fkZHy|m
β=≤0.5,A0=β2 ~bZ$ d{o^
β>0.5时,A0=β kEDpF26!
B0=-β(2-β) <gF]9%2E
A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。 m.K cTM%j
^O_Z5NbC3
表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数 <l<O2 l
Z_q+Ac{p
=
wD#H@ h
β 内 力 系 数 β 内 力 系 数 0SI@`C*1o
A0 B0 A0 B0 |{ N{VK
0.10 0.00083 -0.01583 0.56 0.02590 -0.06720 .$&^yp
0.12 0.00120 -0.01880 0.58 0.02753 -0.06863 62sl6WWS3
0.14 0.00163 -0.02170 0.60 0.02907 -0.07000 e=0]8l>\V
0.16 0.00213 -0.02453 0.62 0.03053 -0.07130 1CB&z@
0.18 0.00270 -0.02730 0.64 0.03190 -0.07253 KoERg&fY
0.20 0.003331 -0.03000 0.66 0.03317 -0.07370 (Mk7"FC7
0.22 0.00403 -0.03263 0.68 0.03433 -0.07480 ;:6\w!fc
0.24 0.00480 -0.03520 0.70 0.03539 -0.07583 t1?aw<
0.26 0.00563 -0.03770 0.72 0.03635 -0.07680 = QBvU)Ki
0.28 0.00653 -0.04013 0.74 0.03722 -0.07770 B]X8KzLu
0.30 0.00750 -0.04250 0.76 0.03799 -0.07853 ^lHy)!&A
0.32 0.00853 -0.04480 0.78 0.03867 -0.07930 Gm|-[iUTG]
0.34 0.00963 -0.04703 0.80 0.03927 -0.08000 D~C'1C&W
0.36 0.01080 -0.04920 0.82 0.03979 -0.08063 fQfn7FaW_\
0.38 0.01203 -0.05130 0.84 0.04023 -0.08120 KnG7w^
0.40 0.01333 -0.05333 0.86 0.04061 -0.08170 h$02#(RHJ
0.42 0.01470 -0.05530 0.88 0.04091 -0.08213 ?@'&<o0p#
0.44 0.01613 -0.05720 0.90 0.04116 -0.08250 4CM'I~
0.46 0.01763 -0.05903 0.92 0.04136 -0.08280 %hVR|K|J
0.48 0.01920 -0.06080 0.94 0.04150 -0.08303 1[!:|=
0.50 0.02083 -0.06250 0.96 0.04159 -0.08320 YbZbA >|
0.52 0.02252 -0.06413 0.98 0.04165 -0.08330 7zG
r+Px
0.54 0.02423 -0.06570 1.00 0.04167 -0.08333 TDH^x1P
296}LW
式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。剪力计算公式较简单,仍采用原公式。 GKt."[seV
w)EYj+L
3 算例(文献〔3〕) +x2JC' -H
!eF(WbU0
五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。承台梁底面以上荷载为:横墙q=142.9kN/m;外纵墙q=85.0kN/m。试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。 ,P a*; o\
$XF$ n#ua
?\o~P
{,%&}kd>
图2 单元桩基平面图 Cy;UyZ
BP3Ha8/X
解: Lk(ESV;r
1.外纵墙下承台梁 !l%:
承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。 QL7b<xDQC*
EC=2.55×104N/mm2 L2XhrLK.|
EK=1500f 5NhFjPETr
=1500×1.37 "`% ,l|D
=2055N/mm2 *z~,|DQ(A
(f——墙体抗压强度设计值) \|,| )
LC=1.05L=1.05(1.65-0.32) r)^sHpK:`
=1.40m<1.65m YlrN^rO
承台梁尺寸400mm×300mm U,#~9
(1)中间跨 tpJA~!mG3
a0=1.37h tl0|.Q,
=1.37×300=977mm 2^o7 ^S
β===0.698 ~IhM(Q*mO!
查表2,得:A0=0.03536 Pe_O(
B0=-0.07581 ,:t,$A
则:跨中弯矩 vJ&_-CX
M=A0qL2C=0.03536×85×14002 @lN\.O
=5.89×106N.mm hZJ~zx~
支座弯矩 A*OqUq/H`;
M=B0qL2C=-0.07581×85×14002 h.EI(Ev"GN
=-12.63×106N.mm =.3#l@E!C
(2)边跨 `Z;Z^c
a0=1.05h q A .9X4NQ
=1.05×300=747mm uPfz'|,
β===0.534 X)3(.L
查表2,得:A0=0.02372 OFtaOjsyUa
B0=-0.06525 EZ<:>V-_D
则:跨中弯矩 Blxa0&3
M=A0qL2C=0.02372×85×14002 Y9^l|,bm5
=3.95×106N.mm /PwiZA3sA
梁端支座弯矩 MA=0 7"(Zpu
第二支座 `>sOOA
MB=B0qL2C=-0.06525×85×14002 &>\;4E.O5
=-10.9×106N.mm pCE
GZV,d@
aj5HtP-
Yz/Blh%V
(=!At)O
KL_/f
图3 纵墙承台梁计算简图 E
f\|3D_
4A2}3$c9
2.横墙下承台梁(近似按中跨计算) gy.UTAs
N
承台梁尺寸350mm×300mm M/W"M9u
LC=1.05L=1.05(1.2-0.32)
t;o\"H
=0.92m<1.2m ( cs
a0=1.37h=1.37×300=1079mm 30sJ"hF9
β=>1.0 取β=1.0 ;^ME
查表2,得:A0=0.04167 &Gt{9#
B0=-0.08333 a
8k2*u
跨中弯矩 M{jXo%C
M=A0qL2C=0.04167×142.9×9202 2_wue49-l
=5.0×106N.mm rDWAZ<;;
支座弯矩 7ui<2(W@0
M=B0qL2C=-0.08333×142.9×9202 Ph=NH8
=-10.1×106N.mm U6&`s%mIa
剪力计算较简单,略。 yI^Yh{
j=O+U_w
4 结语 hju^x8
,=m
JK!(\Ae.
通过上述分析与计算可以看出,本文提出的计算方法较《建筑桩基技术规范》(JGJ94—94)法形式简捷,计算简便,是一个实用的方法。