弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷作用下,使原为直线的轴线变为曲线的变形。 cFF'ygJ/
_d`)N
={]tklND
[]I_r=
梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁,简称梁。 AwQ7Oz|(
QRL+-)DMc
弯曲bending zY^QZceq"
X]T&kdQ6q
平面弯曲plane bending (- QvlpZ
[d^ [Y:I'\
#vs=yR/tn{
5H!6#pqM
7.1.2梁的计算简图 r-aCa/4y!
$(=0J*ND"
载荷: lc8zF5
V[RsSZx
=
(1)集中力 concentrated loads dtDT^~
DbIn3/WNe
(2)集中力偶 force-couple '] $mt
FIEA'kUy
(3)分布载荷 distributed loads =(cfo_B@K
7(W"NF{r
%m5&Y01
r 1x2)
7.1.3梁的类型 7~2c"WE
.FWi$B';
(1)简支梁simple supported beam 上图 Fd(o8z8Q
%~$coZY^
(2)外伸梁overhanging beam %%h0 H[5*
YM<F7tp4
IL&;2%
oT}-i [=}
(3)悬臂梁cantilever beam wk[4Qsk<
}xG~a=,
p1`")$
PC55A1(T
7.2 梁弯曲时的内力 'irHpN6n
nKu)j3o`
7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment nSR<(-j!
1 LUvs~Qu
问题: *ud/'HR8]
t8_i[Hw6D
任截面处有何内力? )~LqBh
k,0lA#>
该内力正负如何规定? .;,` bH0
g* DBW,
例7-1 图示的悬臂梁 AB ,长为 l ,受均布载荷 q 的作用,求梁各横截面上的内力。 N`xXH
1kdQh&~G
1h,m
oa
q!<lI
求内力的方法——截面法 4E0 Y=
l37)
Q
截面法的核心——截开、代替、平衡 RJa1pYK
H5X.CcI&}
内力与外力平衡 r
t\eze_5A
l`(pV ;{W
解:为了显示任一横截面上的内力,假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。 ';iLk[
gH<A.5 xy
Cak-J~=
trm-&e7q?;
梁发生弯曲变形时,横截面上同时存在着两种内力。 7:Be.(a
G+V?c1Me
剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。 \yKYBfp-p
?j|i|WUD
弯矩 —— 位于纵向对称面内。 >m'n#=yap
s.j6"
Q[W
剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。 ywkyxt
}]!?t~5*
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 :vo#(
*DS>#x@3*i
工程上一般梁(跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5),其剪力对强度和刚度的影响很小,可忽略不计,故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。 8Luw<Q
ee\xj$,
规定:使梁弯曲成上凹下凸的形状时,则弯矩为正;反之使梁弯曲成下凹上凸形状时,弯矩为负。 "^&Te%x_b
]GH_;
gt|:K)[,6
YX{c06BHs
7.2.2弯矩图bending moment diagrams E*G{V j
?f&O4H
弯矩图:以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置,纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。 Q)L6+gW^
/pYp,ak
例7-2 试作出例7-1中悬臂梁的弯矩图。 v FWg0 $,
)FSa]1t;x
解 (1)建立弯矩方程 由例7-1知弯矩方程为 ['JIMcD
c6~<vV'}
n1r'Y;G
Gq0Q}[53
(2)画弯矩图 I|/\L|vo
_4-UM2o;
弯矩方程为一元二次方程,其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。 E;-*LT&{
s^zX9IVnp
{}DoRpq=
.F^372hH3
例7-3 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力 F 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 JGG(mrvR
q:vc;y
fA" VLQE
pZV=Co3!I
解 (1)求约束反力 MYMg/>f[
,]H2F']4Z
:V
ZXI#([
D5$|vv1
(2)建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用,各横截面上的弯矩为x的一个连续函数,故弯矩可用一个方程来表达,而本例在梁的C点处有集中力F作用,所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。 owKOH{otf
+LB2V3UZ
Q1^kU0M}
v)s;
wD
cVuT|b^
例7-4 图示的简支梁 AB ,在C点处受到集中力偶 M 0 作用,尺寸 a 、 b 和 l 均为已知,试作出梁的弯矩图。 9`Zwa_Tni
Z>(K|3_
j7sRmQCl
@D+2dT0[M
解 (1)求约束反力 gvCQ![
$c1xh.
=kDh:&u%
qi=v}bp&
(2)建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用,所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。 eYD-8*
^j *H
xjH({(/B>a
H-/w8_} KG
(3)画弯矩图 b<\aJb{2
+(/' b'*
两个弯矩方程均为直线方程 :e!3-#H
4"d'iY
TaNcnAY>9
+Z1y1%a
GFfZ TA
QUKv :;
Ac8t>;=&
总结上面例题,可以得到作弯矩图的几点规律: Mi:i1i
cdn
Ee097A?1vj
(1)梁受集中力或集中力偶作用时,弯矩图为直线,并且在集中力作用处,弯矩发生转折;在集中力偶作用处,弯矩发生突变,突变量为集中力偶的大小 。 gH:+$FA
|?<^4U8
(2)梁受到均布载荷作用时,弯矩图为抛物线,且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。 f`bRg8v
c$b~?Mx
(3)梁的两端点若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。 {N'<_%cu
Y0xn}:%K
7.3 梁纯弯曲时的强度条件 kX "*kD
?~=5x
7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts HC(7,3
u5rHQA0%
纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 :)DvZxHE@
ZIs=%6""&
Q = 0,M = 常数。 S:{`eDk\A_
kj/v$m
|<!xD
iB
iCNJ%AZH
7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams 6YF<GF{
nl+8C}=u
1.梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation: QQ\\:]iM
,?(U4pzX
V|j{#;
6~tj"34_
平面假设: xFp?+a
9^1li2zk{
1)变形前为平面变形后仍为平面 |H&&80I
h%8C_mA
2)始终垂直与轴线 @r3,|tkrz
!eA6Ejf
中性层 Neutral Surface :既不缩短也不伸长(不受压不受拉)。 ?L+|b5RS
bmI6OIWl
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 bu,xIT^
;&`6b:ug
中性轴 Neutral Axis :中性层与横截面的交线。 /0(c-Dv
BNq6dz$J
变形时横截面是绕中性轴旋转的。 5Mz6/&`
ZYs?65.
2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 3_N1y
k~IRds@G
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 }dpE>
h)h%y)1
由于梁横截面保持平面,所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。 4MPR
Q=h37]U+
)(-aw,iK
1a_;(T
以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力为零 。 a3c43!J?M
\e' oAhM
3.梁纯弯曲时正应力计算公式 8/zv3.+[
X]c>clk,
在弹性范围内,经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 ~*hCTqHvN
Y{g[LG`U
;YYnIb(
o(eh.
式中, M 为作用在该截面上的弯矩( Nmm ); y 为计算点到中性轴的距离( mm ); Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩( mm 4 )。 >&pB&'A a
6Ih8~Hu
在中性轴上 y = 0 ,所以 s = 0 ;当 y = y max 时, s = s max 。 g{|F<2rd[m
\4$V;C/n,
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处, +i"^"/2f{
.g/PWEr\I
SI_u0j4%*
}7?n\I+n"
Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 ) sz;B-1^6
P1cI]rriW
计算时, M 和 y 均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还是压应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正,受压侧的为负。 u!4i+7}
z~8`xn,
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的,但对于剪切弯曲的梁,只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h >5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。 JZ=ahSi
w[ )97d
7.3.3惯性矩和抗弯截面模量 e_U1}{=t
N@}5Fnk-
90g=&O5@O
1eod;^AP9
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式 XT2:XWI8
&+0WZ#VI
Tvp~~Dk
py\KY R
7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件 ]#$l"ss,
m9~cQ!m
6:\0=k5
vs=8x\W
对于等截面梁,弯矩最大的截面就是危险截面,其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力,具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。 }EJAC*W,
s=KK)6T
梁的弯曲强度条件是 : 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。 M3m)uiz
b}&2j3-n,
运用梁的弯曲强度条件,可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。 8d|/^U.w~V
4~8!3JH39
o2'^MxKb T
{"rYlN7,
7.4 提高梁强度的主要措施 7-#R[8S
IOL5p*:gz
V
LXU
{3)^$F=T
提高梁强度的主要措施是: !H)Cua)
;@5N
1)降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值 XC*!=h*
_8QHx;}
7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施 <GdQ""X
\US'tF)/
1.合理安排梁的支承 62s0$vw
e-&0f);i
2.合理布置载荷 S/?!ESW6
FdwlRuG
7.4.2合理选择梁的截面 F7!q18ew
3'*}ZDC
1.形状和面积相同的截面,采用不同的放置方式,则 Wz 值可能不相同 $M:Ru@Du2
0,{tBo
2.面积相等而形状不同的截面,其抗弯截面模量 Wz 值不相同 "pA24Ze
yb/v?q?Fk
3.截面形状应与材料特性相适应 RyuI2jEy
v%
c-El%
7.4.3采用等强度梁 vV$6fvS
aG*Mj;J
对于等截面梁,除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外,其余截面的应力均小于,甚至远小于许用应力。 ;rvZ!/
(Zi,~Wqm$
为了节省材料,减轻结构的重量,可在弯矩较小处采用较小的截面,这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。 U"T>L
l|jb}9(J
等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力,则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。 i3dV2^O
在表1的公式(1)~(7)中 cXDG(.!n7B
p0——线荷载的最大值(kN/m),p0= ]ykMh
a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度; =w,cdU*
LC——计算跨度,LC=1.05L; KtMD?
L——两相邻桩之间的净距; 1b``y
q——承台梁底面以上的均布荷载。 d,V]j-
W{!Slf
表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式 5Sh.4A\
%^qf0d*
|V
dr/'
内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式 iJaA&z5sr
支座 n/
m7+=]v
弯矩 (a)、(b)、(c) 7eU|iDYo
(1) nqv#?>Z^OT
e0e3b]
(d) M=- (2) fU^6h`t
a +lTAe
跨中 @%[ dh@oY
弯矩 (a)、(c) M= (3) QnMN8Q9
b^dBX
(b) 9zKbzT]
(4) nW"ml$
JI7.:k;
(d) A<*G;
M= (5) 6
_n~E e
b!l/O2
G
最大 oMV^W^<
剪力 (a)、(b)、(c) -<Oy5N
Q= (6) r1]DkX <6
y9::m]s
(d) gPf^dGi7t
Q= (7)
gI5Fzk@:
#U?=D/
Su>UXuNdE#
O_^X:0}
;=i$0w9W
au?5^u\
图1 计算简图 VGL!)1b
l(A>Rw|
a0按下式计算: \f-HfYG
中间跨 (8) ];U}'&
JQO%-=t
边 跨 (9) 69C>oX
其中 EC——承台梁砼弹性模量; 6i=Nk"d
EK——墙体的弹性模量; k1sR^&{l
I——承台梁横截面的惯性矩; r$/.x6g//
bK——墙体宽度。 R1j)0b6cQ%
当承台梁为矩形截面时,I=bh3 R2B0?fu
则: 中间跨 a0=1.37h (10) ptCAtEO72
];7/DM#Np
边 跨 a0=1.05h (11) wPRs.(]_
其中 b、h——分别为承台梁的宽度和高度。 \CKf/:"
表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。 MU#$tXmnC
(1)跨中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0=LC代入式(4)即可得式(5)。当a0<时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。 \+I+Lrj%
令β=,并将P0==代入式(3)和式(4) -)o0P\cTEt
得: M=β2qL2C (13) $8t\|O3
(14) ?YA5g' l
将上两式统一表示为: PTf.(B"z
F qH@iZ
M=A0qL2C (15) zrazFI0G
'boAv%1_sa
式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)~(d)所示的四种受力简图。 ]>"q>XgnI
(2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。 KX$Q`lM
将β=和P0==代入式(1) 0Ik}\lcn
得 M=β(2-β) (16) ndxijqw
或 M=B0qL2C (17) =k|hH~
(3)弯矩系数A0、B0 "PtOe[Xk
跨中弯矩 M=A0qL2C (15) YThFskRoO
支座弯矩 M=B0qL2C (17) @K}8zMmW#
其中 A0、B0——弯矩系数,分别为: 1z5\>F
β=≤0.5,A0=β2 P6([[mmG
β>0.5时,A0=β 3^%sz!jK+
B0=-β(2-β) FK!UUy;
A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。 F3,djZq
dq
U.2~9
表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数 c:f++||
<Q%:c4N
?[~)D}] j
β 内 力 系 数 β 内 力 系 数 v>]^wH>/"
A0 B0 A0 B0 N \Wd0b
0.10 0.00083 -0.01583 0.56 0.02590 -0.06720 ,Y_[+
0.12 0.00120 -0.01880 0.58 0.02753 -0.06863 m<wEw-1.
0.14 0.00163 -0.02170 0.60 0.02907 -0.07000 J6m(\o
0.16 0.00213 -0.02453 0.62 0.03053 -0.07130 n?z^"vv$i
0.18 0.00270 -0.02730 0.64 0.03190 -0.07253 ,`nl";Zc
0.20 0.003331 -0.03000 0.66 0.03317 -0.07370 }y P98N5o
0.22 0.00403 -0.03263 0.68 0.03433 -0.07480 AQe~F
0.24 0.00480 -0.03520 0.70 0.03539 -0.07583 AYLCdCoK.
0.26 0.00563 -0.03770 0.72 0.03635 -0.07680 ].,TSnb
0.28 0.00653 -0.04013 0.74 0.03722 -0.07770 AXOR<Ns`
0.30 0.00750 -0.04250 0.76 0.03799 -0.07853 J`@#yHL
0.32 0.00853 -0.04480 0.78 0.03867 -0.07930 q oJ4w7
0.34 0.00963 -0.04703 0.80 0.03927 -0.08000 {V*OYYI`R
0.36 0.01080 -0.04920 0.82 0.03979 -0.08063 Vo-]&u&cr
0.38 0.01203 -0.05130 0.84 0.04023 -0.08120 4}t&AW4
0.40 0.01333 -0.05333 0.86 0.04061 -0.08170 x|oa"l^JZ"
0.42 0.01470 -0.05530 0.88 0.04091 -0.08213 D|BP]j}6
0.44 0.01613 -0.05720 0.90 0.04116 -0.08250 |0A:0'uA!
0.46 0.01763 -0.05903 0.92 0.04136 -0.08280 #Ies
yNKZ
0.48 0.01920 -0.06080 0.94 0.04150 -0.08303 y9'F D5\s
0.50 0.02083 -0.06250 0.96 0.04159 -0.08320 Q`4]\)Dp
0.52 0.02252 -0.06413 0.98 0.04165 -0.08330 !YJ^BI
0.54 0.02423 -0.06570 1.00 0.04167 -0.08333 /qalj\ud
{Vj25Gt
式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。剪力计算公式较简单,仍采用原公式。 DZ9qIc}Y
0Fi&7%
3 算例(文献〔3〕) W2([vRT
ok+-#~VTn
五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。承台梁底面以上荷载为:横墙q=142.9kN/m;外纵墙q=85.0kN/m。试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。 qf
qp}g\
Z<t(h=?
dS[="Set
9v2(cpZ
图2 单元桩基平面图 [Y^1}E*
<fLk\
=
解: I$7TnMug
1.外纵墙下承台梁 !Ho=(6V
承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。 mp x/~`c
EC=2.55×104N/mm2 Q(e3-a
EK=1500f VSI.c`=,
=1500×1.37 3M&IMf,/@
=2055N/mm2 <(%cb.^c=N
(f——墙体抗压强度设计值) w'b|*_Q4Q
LC=1.05L=1.05(1.65-0.32) xp>p#c
=1.40m<1.65m |UO&18Y7-
承台梁尺寸400mm×300mm h c9?z}
(1)中间跨 V,@Y,
a0=1.37h 9Hf*cQ
=1.37×300=977mm cc|CC
Zl
β===0.698 a[1sA12
查表2,得:A0=0.03536 oe(9mYWKa6
B0=-0.07581 X~v4"|a
则:跨中弯矩 U@.u-)oX
M=A0qL2C=0.03536×85×14002 ;RWW+x8IB
=5.89×106N.mm zBk_-'z
支座弯矩 Kajkw>z
M=B0qL2C=-0.07581×85×14002 Hva2j<h
=-12.63×106N.mm p!+L
(2)边跨 5-8]N>/b!
a0=1.05h /[a|DUoHO
=1.05×300=747mm cT-K@dg
β===0.534 LkJ$aW/
查表2,得:A0=0.02372 M`0(!Q}
B0=-0.06525 0LWdJ($?
则:跨中弯矩 ;".z[l*
M=A0qL2C=0.02372×85×14002 F2IC$:e
M
=3.95×106N.mm 1@A7h$1P
梁端支座弯矩 MA=0 cVQatm
第二支座 &sm
@
MB=B0qL2C=-0.06525×85×14002 7$(_j<o`
=-10.9×106N.mm 'FShNY5
|x &Z~y
5oz>1
|}_gA
}FPM-M3y
图3 纵墙承台梁计算简图 5ZnSA9?
`nT?6gy
2.横墙下承台梁(近似按中跨计算) ~TYbP
承台梁尺寸350mm×300mm o"|O
]
LC=1.05L=1.05(1.2-0.32) `[WyHO|8
=0.92m<1.2m Bj@x$v#/^
a0=1.37h=1.37×300=1079mm Bu7A{DRf
β=>1.0 取β=1.0 7{n\yl?
查表2,得:A0=0.04167 :3*`IB !
B0=-0.08333 &&X$d!V
跨中弯矩 ("_Q
M=A0qL2C=0.04167×142.9×9202 g-."sniP$g
=5.0×106N.mm W`#gpi)7N
支座弯矩 Uh|TDuM
M=B0qL2C=-0.08333×142.9×9202 r2RBrZ@1
=-10.1×106N.mm 3PsxOb+
剪力计算较简单,略。 {bN Y
$"Afy)Ir
4 结语 Ns'FH(:
AK6=Ydu
通过上述分析与计算可以看出,本文提出的计算方法较《建筑桩基技术规范》(JGJ94—94)法形式简捷,计算简便,是一个实用的方法。