第一章 随机事件和概率 U/NoP4~{
第一节 基本概念 n.0fVV-A
XpJ7o=?W3
1、排列组合初步 gB'6`'
（1）排列组合公式 8X|-rM{
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 vRO
_Q?
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 }pu27F )&
例1．1：方程 的解是 @MCg%Afw
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 `W*U 4?M
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ 9q[oa5INd
Dm<A
^u8
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n /t"3!Z?BOv
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 W 6/yn
B`J~^+`[*
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 9qG6Pb
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 )Z9>$V$j
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ s- T\r"d=j
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ dlTt _.
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 !Q0w\j h
A．120种 B．140种 C．160种 D．180种 6,{$J
BR yl4
`+Q%oj#FF
JcxThZP~
,nDaqQ-C!!
(4)一些常见排列 :Fvrs(
x
① 特殊排列 SI-Ops~e
相邻 R/z=p_6p7`
彼此隔开 @6T/Tdz
顺序一定和不可分辨 !d0kV,F:
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ 7O-x<P;
①3个舞蹈节目排在一起； :G%61x&=Zc
②3个舞蹈节目彼此隔开； N[
Og43Y
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 pg) WKbV
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ :X
(=z;B;N
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 0.k7oB;f(@
]3.;PWa:
② 重复排列和非重复排列（有序） YteO 6A;
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ IB] l1<
DN5 7p!z
③ 对立事件 v #j$;
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ JrRH\+4K
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ :! !at:>
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ ?+}_1x`
y/ ef>ZZ
④ 顺序问题
Qjv}$`M
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） ZX./P0
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） Y GC L2Y
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） n8ZZ#}Nhg
- z%^)VE
2、随机试验、随机事件及其运算 ^ sLdAC
（1）随机试验和随机事件 x-&@wMqkc
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 'kO!^6=4M
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 lchPpm9
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： IKil r'
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； *mvlb
(' &
（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 [%1CRk
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 D7Q$R:6|
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 -fW*vE:
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。 hy"\RW
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。 9Y_HyOZ*GX
为必然事件，Ø为不可能事件。 K/yxE|w<
dE{dZ#Jfi
（2）事件的关系与运算 [ ~c|mOk
①关系： jLHkOk5{:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： } l} Bo.C
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 VY=jc~c]v
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 OU
$#5
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 nazZ*lC
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 5 IjGm
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 '$]97b7G
②运算： 0rs"o-s<
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C N] =q|D
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) y(yHt= r
德摩根率： ， HJ[c M6$2
XW)lDiJl
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件： " C Qa.%
（1）两只球是颜色相同的事件 ， L2i_X@/
（2）两只球是颜色不同的事件 ， 4yr'W8X_
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。 w ;:*P
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件： IDriGZZ<)6
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ， E,x+Je KV
（2）至少有一次正面朝上的事件 ， ( 2E\p
（3）前两次正面朝上的事件 。 bI9~jWgGp
3、概率的定义和性质 LG|fq/;
（1）概率的公理化定义 tGE$z]1c@
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： FxWS V| Z
1° 0≤P(A)≤1， 3<f}nfB%r?
2° P(Ω) =1 A d9 }9!<
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有 ~t~k2^)|"
fW1CFRHH
常称为可列（完全）可加性。 %axh`xK#
则称P(A)为事件 的概率。 }?_?V&K|
sfugY (m
（2）古典概型（等可能概型） CXx*_@}MU
1° ， K+K#+RBK
2° 。 u$Jz~:=,
设任一事件 ，它是由 组成的，则有 }I6veagK
P(A)= = ;) z:fToh
Nv }=L
: E
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 ' ;FnIZ
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ DGn;m\B
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 E ib5
A． B． C． D． J7Hl\Q[D1
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） @&3EJ1
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） i0kak`x0
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序） 1POmP&fI(
b;W3 j
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 _Gi4A
}Gm>`cw-
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） 7p16Hv7y~
（1）加法公式 5o'FS{6U
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) RVA (Q[ ;
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) c&?m>2^6
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： g._]8{K
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。 {
Vf XsI
r Iu$ pZO
（2）减法公式 GxI!{oi2
P(A-B)=P(A)-P(AB) y@: h4u"3
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 0oZ=
yh
当A=Ω时，P( )=1- P(B) lH x^D;m6
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ). RYQR(v
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是： M 2>Vj/
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 +yH7v5W
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) TA`1U;c{n
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) BxWPC#5
2Aazy'/
（3）条件概率和乘法公式 #@9/g
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。 L:pYn_
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 r?lf($ D *
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) 2~1SQ.Q<RY
乘法公式： 9`A;U|~E@
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 $%CF 8\0
… …… … 。 iohop(LZ
kHghPn?8]
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 0w \z LU
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ U9:zVy
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 ,]ma+ (|
D3Ig>gKo?m
（4）全概公式 5T_n %vz
设事件 满足 nwB_8 mN|
1° 两两互不相容， ， 4n ! aW?%
2° ， 4$iz4U:P
则有 * 8yAG]z
。 F3v !AvA|
此公式即为全概率公式。 [#<-ZC#T*
8>2.U rC
b8`)y< 7
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 HZzD VCU
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： 7a =gH2]&
A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225 zl>nSndRE
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
