第一章 随机事件和概率
第一节 基本概念
1、排列组合初步
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例1．1：方程 的解是
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法
A．120种 B．140种 C．160种 D．180种
(4)一些常见排列
① 特殊排列
相邻
彼此隔开
顺序一定和不可分辨
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？
①3个舞蹈节目排在一起；
②3个舞蹈节目彼此隔开；
③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？
② 重复排列和非重复排列（有序）
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
③ 对立事件
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
④ 顺序问题
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）
2、随机试验、随机事件及其运算
（1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现"1"点、"5"点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。
为必然事件，?为不可能事件。
（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： ，
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件：
（1）两只球是颜色相同的事件 ，
（2）两只球是颜色不同的事件 ，
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ，
（2）至少有一次正面朝上的事件 ，
（3）前两次正面朝上的事件 。
3、概率的定义和性质
（1）概率的公理化定义
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)= =
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是
A． B． C． D．
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）
（1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
A＝"三个数字中不含0或者不含5"。
（2）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ).
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是：
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A)
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ )
（3）条件概率和乘法公式
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
（4）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
此公式即为全概率公式。
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：
A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
（5）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。如果我们把 当作观察的"结果"，而 ， ，…， 理解为"原因"，则贝叶斯公式反映了"因果"的概率规律，并作出了"由果朔因"的推断。
例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设 表示被检验者的确患有肝癌的事件， 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知 ， ， 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率 。
5、事件的独立性和伯努利试验
（1）两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。
若事件 、 相互独立，且 ，则有
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。（证明）
由定义，我们可知必然事件 和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）
同时，?与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
两两互斥→互相互斥。
两两独立→互相独立？
例1．33：已知 ，证明事件 、 相互独立。
例1．34：A，B，C相互独立的充分条件：
（1）A，B，C两两独立
（2）A与BC独立
例1．35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。
（3）伯努利试验
定义 我们作了 次试验，且满足
u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率，
， 。
例1．36：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a
个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。
例1．37：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败m次的概率。
第二节 练习题
1、事件的运算和概率的性质
例1．38：化简 (A+B)(A+ )( +B)
例1．39：ABC=AB(C∪B) 成立的充分条件为：
(1)AB C (2)B C
例1．40：已知P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求x的最大值。
例1．41：当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是
（A） P（C）=P（AB）。
（B） P（C）=P（A B）。
（C） P（C）≥P（A）+P（B）-1
（D） P（C）≤P（A）+P（B）-1。 [ ]
2、古典概型
例1．42：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例1．43：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。
例1．44：袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是
A． B． C． D．
例1．45：10个盒子，每个装着标号为"1－6"的卡片。每个盒子任取一张，问10张中最大数是4的概率？
例1．46：将n个人等可能地分到N（n≤N）间房间中去，试求下列事件的概率。
A＝"某指定的n间房中各有1人"；
B＝"恰有n间房中各有1人"
C＝"某指定的房中恰有m（m≤n）人"
例1．47：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问全是白色的概率？
3、条件概率和乘法公式
例1．48：假设事件A和B满足P（B | A）=1，则
（A） A是必然事件。 （B） 。
（C） 。 （D） 。 [ ]
例1．49：设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0, P(B)>0，则结论正确的是
（A） P（B | A）>0。
（B） P（A | B）=P（A）。
（C） P（A | B）=0。
（D） P（AB）=P（A）P（B）。 [ ]
例1．50：某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。
例1．51：某人忘记三位号码锁（每位均有0～9十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是
A． B． C． D．
例1．52：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：①甲机被击落的概率；②乙机被击落的概率。
例1．53：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效率A为0.92，B为0.93，在A失灵条件下B有效概率为0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在B失灵条件下，A有效的概率。
4、全概和贝叶斯公式
例1．54：甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔．求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。
例1．55：三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？
例1．56：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 。
5、独立性和伯努利概型
例1．57：设P(A)>0,P(B)>0，证明
（1） 若A与B相互独立，则A与B不互斥；
（2） 若A与B互斥，则A与B不独立。
例1．58：设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为 ，仅有B发生的概率为 ，则P（A）= ，P（B）= 。
例1．59：若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P( ), P(A)=0.4，求P(B).
例1．60：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）< ，且已知 ，则P（A）= 。
例1．61：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B同时发生的概率的范围？
例1．62：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。
例1．63：由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。
例1．64：将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。
例1．65：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名"甲罐"）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名"乙罐"）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为"甲罐"的概率是该罐为"乙罐"的概率的
(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍
第二章 随机变量及其分布
第一节 基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为"1"；而出现反面时，规定其对应数为"0"。于是
称 为随机变量。又由于 是随着试验结果（基本事件 ）不同而变化的，所以 实际上是基本事件 的函数，即X=X(ω)。同时事件A包含了一定量的ω（例如古典概型中A包含了ω1，ω2，…ωm，共m个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。
定义 设试验的样本空间为 ，如果对 中每个事件 都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为 。
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。
一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。
1、随机变量的分布函数
（1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ，
（2） 。
例2．1：投骰子，出现偶数的概率？
例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为"取白球的数"，求X的分布律。
例2．3：若干个容器，每个标号1－3，取出某号容器的概率与该号码成反比，令X(ω)表示取出的号码，求X的分布律。
（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有 ，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命 ， 。所以我们考虑用 落在某个区间 内的概率表示。
定义 设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数。
可以得到X落入区间 的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。
分布函数 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（- ∞，x]内的概率。
的图形是阶梯图形， 是第一类间断点，随机变量 在 处的概率就是 在 处的跃度。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
例2．4：设离散随机变量 的分布列为
，
求 的分布函数，并求 ， ， 。
例2．5：设随机变量X的分布函数为
其中A是一个常数，求
（1） 常数A
（2）P（1≤X≤2）
（3）连续型随机变量的密度函数
定义 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。
由上式可知，连续型随机变量的分布函数 是连续函数。
所以，
密度函数具有下面4个性质：
1° 。
2° 。
的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于1。
如果一个函数 满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。
3° ＝ ＝ 。
4° 若 在 处连续，则有 。
它在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
对于连续型随机变量 ，虽然有 ，但事件 并非是不可能事件?。
令 ，则右端为零，而概率 ，故得 。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
例2．6：随机变量X的概率密度为f(x)， ，求A和F(x)。
例2．7：随机变量X的概率密度为
求X的分布函数 和 ．
2、常见分布
①0－1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。
②二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
容易验证，满足离散型分布率的条件。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
例2．8：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率。
③泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。
例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
④超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布。
例2．10：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。 （非重复排列）
例2．11：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中连续地取a+b个球（不放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。 （非重复排列）
例2．12：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中连续地取a+b个球（放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。 （重复排列）
⑤几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布。
例2．13：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
⑥均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数k，即
其他，
其中k= ，
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为
P( 。
例2．14：设电阻R是一个均匀在900~1100Ω的随机变量，求R落在1000~1200Ω之间的概率。
⑦指数分布
设随机变量X的密度函数为
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
X的分布函数为
记住几个积分：
，
例2．15：一个电子元件的寿命是一个随机变量 。它的分布函数 的含义是，该电子元件的寿命不超过 的概率。通常我们都假定电子元件的寿命服从指数分布。试证明服从指数分布的随机变量具有"无记忆性"： 。
⑧正态分布
设随机变量 的密度函数为
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2° 当 时， 为最大值；
3° 以 轴为渐近线。
特别当 固定、改变 时， 的图形形状不变，只是集体沿 轴平行移动，所以 又称为位置参数。当 固定、改变 时， 的图形形状要发生变化，随 变大， 图形的形状变得平坦，所以又称 为形状参数。
若 ，则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
φ(x)和Φ(x)的性质如下：
1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；
2° 当x=0时，φ(x)＝ 为最大值；
3° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
所以我们可以通过变换将 的计算转化为 的计算，而 的值是可以通过查表得到的。
。
分位数的定义。
例2．16：设 ，求 ， ；求常数c，使P(X>c)=2P(X≤c)。
例2．17：某人需乘车到机场搭乘飞机，现有两条路线可供选择。第一条路线较短，但交通比较拥挤，到达机场所需时间X（单位为分）服从正态分布N（50，100）。第二条路线较长，但出现意外的阻塞较少，所需时间X服从正态分布N（60，16）。（1）若有70分钟可用，问应走哪一条路线？（2）若有65分钟可用，又应选择哪一条路线？
3、随机变量函数的分布
随机变量 是随机变量 的函数 ，若 的分布函数 或密度函数 知道，则如何求出 的分布函数 或密度函数 。
（1） 是离散型随机变量
已知 的分布列为
，
显然， 的取值只可能是 ，若 互不相等，则 的分布列如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
例2．18：已知随机变量 的分布列为
，
求 的分布列。
（2） 是连续型随机变量
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
例2．19：已知随机变量 ，求 的密度函数 。
第二节 练习题
1、常见分布
例2．20：一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布。
例2．21：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A ，x>0,则A= 。
例2．22： 是概率密度函数的充分条件是：
（1） 均为概率密度函数
（2）
例2．23：一个不懂英语的人参加GMAT机考，假设考试有5个选择题，每题有5个选项（单选），试求：此人答对3题或者3题以上（至少获得600分）的概率？
例2．24：设随机变量X~U（0，5），求方程 有实根的概率。
例2．25：设随机变量X的概率密度为
其使得 ，则k的取值范围是 。
例2．26：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了900小时而未损坏的概率是 ，则该种电子元件的平均寿命是
A． 990小时 B． 1000小时 C． 1010小时 D． 1020小时
例2．27：设随机变量X的概率密度为： 则其分布函数F(x)是
（A）
（B）
（C）
（D） [ ]
例2．28：X~N(1,4)，Y~N(2,9)，问P(X≦-1)和P(Y≧5)谁大？
例2．29：X~N(μ,σ2)，μ≠0，σ>0，且P( )= ，则α＝？
2、函数分布
例2．30：设随机变量X具有连续的分布函数F(x)，求Y=F（X）的分布函数F（y）。
（或证明题：
设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。）
例2．31：设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数fY(y)= .
例2．32：设X~U ，并且y=tanx，求Y的分布密度函数f(y)。
例2．33：设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数
（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点
（C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点
第三章 二维随机变量及其分布
第一节 基本概念
1、二维随机变量的基本概念
（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称 为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
YX y1 y2 … yj … pi·
x1 p11 p12 … p1j … p1·
x2 p21 p22 … p2j … p2·
xi pi1 … … pi·
p·j p·1 p·2 … p·j … 1
这里pij具有下面两个性质：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
对于随机向量（X，Y），称其分量X（或Y）的分布为（X，Y）的关于X（或Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为
，
则X的边缘分布为 ；
Y的边缘分布为 。
例3．1：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为
YX -1 0 1 2 p1·
1 0 0 0
2 0
3 0 0
p·j 1
（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布
对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1） f(x,y)≥0;
（2）
一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X和Y的边缘分布密度为
注意：联合概率分布→边缘分布
例3．2：设（X，Y）的联合分布密度为
试求：（1）常数C；
（2）P{0<X<1, 0<Y<2};
（3）X与Y的边缘分布密度
（3）条件分布
当（X，Y）为离散型，并且其联合分布律为
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
其中pio, poj分别为X，Y的边缘分布。
当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
其中 分别为X，Y的边缘分布密度。
例3．3： 设二维随向量（X，Y）的联合分布为
X Y 0.4 0.8
2 0.15 0.05
5 0.30 0.12
8 0.35 0.03
求 （1）X与Y的边缘分布；
（2）X关于Y取值y1=0.4的条件分布；
（3）Y关于X取值x2=5的条件分布。
（4）常见的二维分布
①均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D1
O 1 x
图3.1
y
1
O 2 x
图3.2
y
d
c
O a b x
图3.3
例3．4： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中
求X的边缘密度fX(x)
画线观察积分上下限。
②正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中 ，共5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，
记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。
即X～N（
（5）二维随机向量联合分布函数及其性质
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（1）
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
2、随机变量的独立性
（1）一般型随机变量
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
（2）离散型随机变量
例3．5：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为
YX -1 0 1 2 p1·
1 0 0 0
2 0
3 0 0
p·j 1
（3）连续型随机变量
f(x,y)=fX(x)fY(y)
联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。
例3．7：f(x,y)=
（4）二维正态分布
ρ=0
（5）随机变量函数的独立性
若X与Y独立，h,g为连续函数，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
3、简单函数的分布
两个随机变量的和Z=X+Y
①离散型：
例3．8：设（X，Y）的联合分布为
X Y 0 1 2
0
1
求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。
②连续型
fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
例3．9：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U（0，1），Y～e（1），求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。
③混合型
例3．10：设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。
第二节 练习题
1、二维随机变量联合分布函数
例3．11：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？
（A）
（B）
（C）
（D） [ ]
例3．12：设某班车起点站上车人数X服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的，用Y表示在中途下车的人数，求：
（1） 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2） 二维随机向量（X，Y）的概率分布。
例3．13：一射手进行射击，击中目标的概率为p（0<p<1），射击直到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数。试求X与Y的联合分布律及条件分布律。
例3．14：设（X,Y）只在曲线y=x2与x=y2所围成的区域D中不为零且服从均匀分布，试求：
（1）（X,Y）的联合密度；（2）边缘密度 ；（3）P（Y≥X）
例3．15：设随机变量（X，Y）的概率密度为
试求： （1）条件概率密度 ；
（2）
例3．16：设随机变量 在区间 上服从均匀分布，在 的条件下，随机变量 在区间 上服从均匀分布，求
(Ⅰ) 随机变量 和 的联合概率密度；
(Ⅱ) 的概率密度；
(Ⅲ) 概率 ．
2、随机变量的独立性
例3．17：设（X，Y）的联合分布密度为
（1） 求C；
（2） 求X，Y的边缘分布；
（3） 讨论X与Y的独立性；
（4） 计算P（X+Y≤1）。
例3．18：设（X，Y）的密度函数为
试求： （1）X，Y的边缘密度函数，并判别其独立性；
（2）（X，Y）的条件分布密度；
（3）P（X>2|Y<4）。
3、简单函数的分布
例3．19：设两个独立的随机变量X与Y的分布律为
，
求随机变量（1）Z=X+Y；（2）Z=XY；（3）Z=max（X，Y）的分布律。
例3．20：设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N（0，1）和N（1，1），求P（X+Y≤1），（或选择题为）
（A） （B）
（C） （D）
例3．21：设随机变量（X，Y）的分布密度为
试求 Z=X-Y的分布密度。
例3．22：设X与Y相互独立，且都服从（0,a）上的均匀分布，试求 的分布密度与分布函数。
第四章 随机变量的数字特征
第一节 基本概念
1、一维随机变量的数字特征
（1）一维随机变量及其函数的期望
①设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，
期望就是平均值。
例4．1：100个考生，100分10人，90分20人，80分40人，70分20人，60分10人，求期望。
例4．2：设某长生产的某种产品不合格率为10％，假设生产一件不合格品要亏损2元；每生产一件合格品获利10元。求每件产品的平均利润。
②设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
例4．3：设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以分钟计）是一个随机变量，其概率密度为
求EX。
③数学期望的性质
（1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
（5） Y=g(X)
离散：
连续：
例4．4：将一均匀骰子独立地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。
例4．5：设离散型随机变量X的分布律为
X -2 0 2
P 0.4 0.3 0.3
试求：（1）EX2
（2）X2的分布律
（2）方差
D(X)=E[X-E(X)]2，方差
，标准差
①离散型随机变量
②连续型随机变量
③方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
例4．6：X服从 ，Y服从 ，且X,Y相互独立，证明X+Y服从 。
类似的，n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布 。
，
例4．7：设X的均值、方差都存在，且D（X）≠0，求 的均值与方差。
例4．8：设随机变量X的概率密度为
求E（X）及D（X）。
例4．9：设随机变量X的概率密度为
试求：D（2X-1）
（3）常见分布的数学期望和方差
分布名称 符号 均值 方差
0-1分布 p
二项分布 np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
①0－1分布
X 0 1
q p
E(X)=p，D(X)=pq
②二项分布 X~B(n,p)， ，（k=0,1,2…n）
E(X)=np，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)= ，k=0,1,2…
E(X)= λ， D(X)= λ
④超几何分布
E(X)=
⑤几何分布 ，k=0,1,2…
E(X)= ， D(X)=
⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)= ，[a, b ]
E(X)= ， D(X)=
⑦指数分布 f(x)= ，(x>0)
E(X)= ， D(X)=
⑧正态分布 X~N(μ,σ2)，
E(X)= μ， D(X)= σ2
例4．10：罐中有5颗围棋子，其中2颗为白子，另3颗为黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次数X的数学期望与方差。
例4．11：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？
例4．12：设随机变量X服从参数为λ＞0的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，求λ。
例4．13：设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E（X-3e-2x）。
例4．14：设（X，Y）服从区域D={（x,y）|0≤x≤1, 0≤y≤1}上的均匀分布，求E（X+Y），E（X-Y），E（XY），D（X+Y），D（2X-3Y）。
2、二维随机变量的数字特征
（1）协方差和相关系数
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即
与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。
协方差有下面几个性质：
(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。
| |≤1，当| |=1时，称X与Y安全相关：
完全相关
而当 时，称X与Y不相关。
与相关系数有关的几个重要结论
（i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。
（ii） 若（X，Y）～N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是 ，即X和Y不相关。
（iii） 以下五个命题是等价的：
① ；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
例4．15：设D（X）=25，D（Y）=36， 。求D（X+Y）及D（X-Y）。
（2）二维随机变量函数的期望
（3）原点矩和中心矩
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
uk=E(Xk), k=1,2, ….
于是，我们有
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即
于是，我们有
③对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ，即
第二节 练习题
1、一维随机变量及其函数的数字特征
例4．16：设连续型随机变量X的概率密度函数是
且已知EX=0.5, DX=0.15，求系数a, b, c。
例4．17：将10封信放入到9个信箱中去，设每封信落入各个信箱是等可能的，求有信的信箱数X的数学期望。
例4．18：一辆送客汽车，载有50位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的并且各旅客是否下车相互独立。设X表示停车的次数。试求E(X)和D(X)。
例4．19：设某一机器加工一种产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品检验，如果发现多于1件次品，就要调整机器。求一天中调整机器次数的概率分布及数学期望。
例4．20：地铁到达一站时间为每个整点的第5分、25分、55分钟，设一乘客在早8点～9点之间随机到达，求侯车时间的数学期望。
2、二维随机变量及其函数的数字特征
例4．21：设X～N（1，2），Y～N（2，4）且X，Y相互独立，求Z=2X+Y-3的分布密度函数f(z)。
例4．22：设X1，X2，……，Xn为独立同分布的随机变量，均服从 ，证明 服从 分布。
例4．23：设二维随机向量（X，Y）的联合分布密度函数
则E（XY）= 。
例4．24：设（X，Y）服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线 所围成的三角形区域，求X，Y，XY的数学期望及方差。
例4．25：设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。
例4．26：设X,Y是随机变量，均服从标准正态分布，相关系数 ＝ ，令Z1＝aX，Z2＝bX+cY，试确定a,b,c的值，使D(Z1)＝D(Z2)＝1且Z1和Z2不相关。
3、独立和不相关
例4．27：设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y
（ ）。
（A）不相关的充分条件，且不是必要条件；
（B）独立的充分条件，但不是必要条件；
（C）不相关的充分必要条件；
（D）独立的充分必要条件。
例4．28：已知（X,Y）的联合分布律为
X\Y -1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
试求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)， ；（3）判断X,Y是否相关？是否独立？
例4．29：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数 ，设
（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数 ；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？
例4．30：设A，B是二随机事件，随机变量
试证："X,Y不相关"与"A,B独立"互为充分必要条件。
4、应用题
例4．31：设某产品每周需求量为Q，Q等可能地取1，2，3，4，5。生产每件产品的成本是3元，每件产品的售价为9元，没有售出的产品以每件1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使利润的期望最大？
例4．32：设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 基本概念
1、切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
例5．1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计 。
2、大数定律
（1）切比雪夫大数定律
（要求方差有界）
设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有
特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为
或者简写成：
切比雪夫大数定律指出，n个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。
例5．2：设{Xk}为相互独立的随机变量序列，且
试证{Xk}服从切比雪夫大数定律。
（2）伯努利大数定律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
（3）辛钦大数定律
（不要求存在方差）
设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有
3、中心极限定理
（1）列维－林德伯格定理
设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量
的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有
或者简写成：
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
（2）棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量X1，…Xn均为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有
例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。
4、二项定理和泊松定理
（1）二项定理
若当 ，则
可见，超几何分布的极限分布为二项分布。
例5．4：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名"甲罐"）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名"乙罐"）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为"甲罐"的概率是该罐为"乙罐"的概率的
(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍
（2）泊松定理
若当 ，则
其中k=0，1，2，…，n，…。
例5．5：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
第二节 练习题
1、切比雪夫不等式
例5．6：利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于2倍标准差的概率。
2、大数定律
例5．7：设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, …），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是：
（A）X1，X2，…，Xn，…； （B）X1，22X2，…，n2Xn，…
（C）X1，X2/2，…，Xn/n，…； （D）X1，2X2，…，nXn，…
3、中心极限定理
例5．8：设X1，X2，…为独立同分布序列，且Xi(i=1,2,…)服从参数为λ的指数分布，则
（A） （B）
（C） （D）
[ ]
其中 .
例5．9：设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，在下面条件下， ， ，…， ，…满足列维－林德伯格中心极限定理的是：
（A） ；
（B） ；
（C） ；
（D） 服从参数为 的指数分布。
例5．10：设随机变量X1，X2，…Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn
（A）有相同的数学期望。 （B）有相同的方差。
（C）服从同一指数分布。 （D）服从同一离散型分布。 [ ]
例5．11：（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10 ，又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度（即正常运行的概率）；（2）上述系统假如由n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠度为0.95？
例5．12：计算机做加法运算时，要对每个加数取整。设所有的取整误差相互独立，并且均服从U[-0.5，0.5]。如果将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率。
例5．13：设有1000个人独立行动，每个人能够按时进行掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中
（1）至少有多少人能够进入？
（2）至多有多少人能够进入？
第六章 数理统计的基本概念
第一节 基本概念
1、总体、个体和样本
（1）总体与样本
总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
例如单正态总体X，用
来表示
我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是"简单随机抽样"：
（1）代表性。即每一样品Xi与总体X同分布；
（2）独立性。即样品抽取互相间不影响。
此时的样本是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。
注意：在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。
例6．1：总体：100个球，60个红球，40个白球；样本：10个球。
（2）样本函数与统计量
设 为总体的一个样本，称
（ ）
为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。
2、统计量
（1）常用统计量
样本均值
样本方差
（与概率论中的方差定义不同）
样本标准差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
（二阶中心矩 与概率论中的方差定义相同）
例6．2：用测温仪对一物体的温度测量5次，其结果为（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求统计计量 ，S2和S的观察值
（2）统计量的期望和方差
， ，
， ,
其中 ，为二阶中心矩。
3、三个抽样分布（χ2、t、F分布）
（1）χ2分布
设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ (n)，其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性：设
则
注意两个结果：E(χ2)=n，D(χ2)=2n
例6．3：设 相互独立同N（0，22）分布，求常数a, b, c, d使
服从 分布，并求自由度m 。
（2）t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
可以证明：函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。
注意两个结果：E(T)=0，D(T)= (n>2)
（3）F分布
设 ，且X与Y独立，可以证明： 的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).
正态分布 ，
，
例6．4：求证：若X ~ t(n)，则X2 ~ F(1,n)。
注意以上三个分布的函数图像。
4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理： 与 独立。
（1）正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
（2）t-分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
（3） 分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
其中 表示自由度为n-1的 分布。
（4）F分布 设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
其中
表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。
第二节 练习题
1、统计量的性质
例6．5：设 为取自正态总体 的样本，令
，试求E（Y），D（Y）。
例6．6：从正态总体 中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
2、统计量的分布
例6．7：设 是来自正态总体 的简单随机样本， 是样本均值，记
则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是
（A） （B）
（C） （D） [ ]
例6．8：设总体X服从正态分布N(0,22)，而X1，X2，，…，X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量 服从 分布，参数为 。
例6．9：设总体 是总体的一个样本，求 的分布。
例6．10：设X1，…，Xn， Xn+1，…，Xn+m是分布为N(0,σ2)的正态总体容量为n+m的样本，试求下列统计量的概率分布：
（1） ； （2） 。
第七章 参数估计
第一节 基本概念
1、点估计的两种方法
（1）矩法
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。
设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 显示它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为
这样，我们按照"当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩"的原则建立方程，即有
由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。
例7．1：设总体 ，求对 的矩估计量。
（2）最大似然法
所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大。
当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称
为样本的似然函数，简记为Ln.
当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称
为样本的似然函数。
若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。我们把使Ln达到最大的 分别作为 的估计量的方法称为最大似然估计法。
由于lnx是一个递增函数，所以Ln与lnLn同时达到最大值。我们称
为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出 为 的最大似然估计量。
容易看出，使得Ln达到最大的 也可以使这组样本值出现的可能性最大。
2、估计量的评选标准
（1）无偏性
设 为求知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。
若总体X的均值E（X）和方差D（X）存在，则样本均值 和样本方差S2分别为E（X）和 D（X）的无偏估计，即
E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）。
（2）有效性
设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。
例7．2：设 是总体的一个样本，试证下列式子并比较有效性。
（1）
（2）
（3）
（3）一致性（相合性）
设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有
则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。
3、区间估计
（1）置信区间和置信度
设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即
那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。
（2）单正态总体的期望和方差的区间估计
设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：
（i）选择样本函数；
（ii）由置信度 ，查表找分位数；
（iii）导出置信区间 。
下面分三种情况来讨论。
① 已知方差，估计均值
（i）选择样本函数
设方差 ，其中 为已知数。我们知道 的一个点估计，并且知道包含未知参数 的样本函数。
(ii) 查表找分位数
对于给定的置信度 ，查正态分布分位数表，找出分位数 ，使得
。
即
（iii）导出置信区间
由不等式
推得
这就是说，随机区间
以 的概率包含 。
② 未知方差，估计均值
（i）选择样本函数
设 为总体 的一个样本，由于 是未知的，不能再选取样本函数u。这时可用样本方差
来代替 ，而选取样本函数
(ii)查表找分位数
对于给定的置信度 ，查t分位数表，找出分位数 ，使得
。
即
（iii）导出置信区间
由不等式
推得
这就是说，随机区间
以 的概率包含 。
③ 方差的区间估计
（i）选择样本函数
设 为来自总体 的一个样本，我们知道
是 的一个点估计，并且知道包含未知参数 的样本函数
（ii）查表找分位数
对于给定的置信度 ，查 分布分位数表，找出两个分位数 ，使得由于 分布不具有对称性，因此通常采取使得概率对称的区间，即
于是有
（iii）导出置信区间
由不等式
以 的概率包含 ，而随机区间
以 的概率包含 。
例7．3：设有一组来自正态总体 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512.
(i) 已知 =0.012，求μ的95%置信区间；
(ii) 未知 ，求μ的95%置信区间；
(iii) 求 的95%置信区间。
第二节 练习题
1、矩估计和极大似然估计
例7．4：设总体 为X的 样本，求：
（1） λ矩估计量及最大似然估计量；
（2） 设 ，证明 无偏估计量。
例7．5：设总体X的分布为
其中 >-1是未知参数， 为来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计最大似然法估计 。
2、估计量的优劣
例7．6：设 是来自正态分布总体 的一个样本，适当选取C，使得
为 的无偏估计量。
例7．7：设 是参数 的无偏估计量，且D（ ）>0。证明 2不是 的无偏估计量。
3、区间估计
例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为
2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10
2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11
假设钉子的长度X服从正态分布 ,在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。
（1） 已知 =0.01.
（2） 未知.
考研数学基础班例题答案
第一章
1. 2 2. 2 3.
4. · ·2 5. D 6. ① · ② · ③
7. · 8. 9.
10. 11. 12. ·
13. 9 14. 6 15. 3
18. 19. 20. A
21. 22. 23.
24. 25. 0.7, 0.8 26. e
27. 28. ① ② ③ 29. 0.4825
30. D 31. , 32. 0.16
35. 0.02 36.
37. 38. AB 40.
41. C 42. 43.
44. A 45.
46.
47. 48. D 49.C
50. 0.8 51. D 52. ①0.24 ②0.424
53. (1) 0.988 (2) 0.829 54. 0.3286 55.
56. 58. , 59. 0.6
60. 61. 0.1~0.5 62. 14
63. 0.595 64. 65. D
第二章
1. 2.
3.
4.
5. (1) 1 (2)
6.
7.
8. 0.9575 9. 0.9596 10.
11. 12.
13. ① ② ③ 14. 17. (1)第二条 （2）第一条
18.
19.
20.
21. 48 23. 5.8% 24.
25. [1, 3] 26. B 27. B
28. 一样大 29. 31.
32. 33. D
第三章
2. (1) 12 (2)
(3)
3. (2) , ,
(3) ,
4.
9.
10. 11. C
12. (1) (2)
13. (1)
(2) ,
14. (1)
(2)
(3)
15. (1)
(2)
16. (1) (2) (3) 1-ln2
17. (1) 1
(2)
(3) 不独立
（4）
18. (1)
不独立
(2)
(3)
20. B
21.
22.
第四章
2. 8.8 3. 1500 4. 10.5
5. 2.8
7. E（Y）=0， D（Y）=1 8. 2,2
9. 2 10. 11. ,
12. 1 13. 0
14. E(X-Y)=0 E(XY)= D(X+Y)= D(2X-3Y)=
15. 85, 37 16. 12, -12, 3 17.
18. 10[1-( ),
19. B4, 0.082), 0.328 20. 11.67 21. N(1,12)
23. 4 24.
25. 26. 或
27. C 28. (1) 0, 0, , (2) 0, 0 (3)不相关，不独立
29. (1) , 3 (2) 0 (3) 未必独立
31. N=3或4 32. 21
第五章
1. 3. 142 4. D
6. 7. B 8. A
9. A 10. C 11. (1) 0.952 (2) 25
12. 0.1802 13. (1) 884 (2) 916
第六章
2. 1259, 142.5, 11.94 3.
5. 6. 35 7. B
8. F(10, 5) 9. F(1, 1) 10. (1) t (m) (2) F(n, m)
第七章
1. 2. 最有效
3. (1) [0.5024, 0.5154] (2) [0.5005, 0.5173] (3) [0.0540 ]
4. (1)
5.
6.
8. (1) [2, 121, 2, 129] (2) [2, 117, 2, 133]
