最小二乘法 最小二乘法历史简介 i)7B :uA
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 ~r&+18Z;
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 Uac.8w Qh
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”。但因不为时人所知而默默无闻。 JwdvY]
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。 ))E| SAr
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。（来自于wikipedia） !H~PF*,hY
最小二乘法原理 jQ dIeQD+
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 U P*5M
Y计= a0 + a1 X (式1-1) a$$aM2 .2
其中：a0、a1 是任意实数 a=M/0N{!
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 UL`% Xx
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) YA~ `R~9d
把(式1-1)代入(式1-2)中得: 5QZ}KNJ|t~
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) =L*-2cE6#
当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 K1zH\wH
(式1-4) kn}bb *eZ
(式1-5) C&;m56
亦即： ?7TuE!!M
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) r>J%Eu/O
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) d?)Ic1][
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： h=d FSK?*D
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) ,Gy2$mglB
a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9) :*eJ*(M
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 ]:~z#k|2@6
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 zh9B8r)C
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊ \Yr&vX/[p
在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 a2B9
.;F
从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. $~NB
.SY
考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法. @P<aTRy,f
由极值原理得 , 即 (;(2 n;i[M
解此联立方程得 R6\|:mI,$
(*) eJE!\ucS2W
问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度 ℃)对产品得率 (％)的影响, 测得数据如下: op61-:q/
温度 ℃) .Zr3!N.t
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 V lS`m,:{
得率 (％) 7$Lt5rn"}
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 e(vnnv?R{
(1) 利用“ListPlot”函数, 绘出数据 的散点图(采用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] ); SyI i*dH
(2) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 注意观察有何特征? (采用格式: Show[Graphics[Line[{ , , …, }]] , Axes->True ]) ; {0 L)B{|
(3) 根据公式(*), 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序, 求经验公式 ; ](>YjE0
(程序编写思路为: 任意给定两个集合A (此处表示温度)、B(此处表示得率), 由公式(*)可定义两个二元函数(集合A和B为其变量)分别表示 和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示将加法施加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的个数, 即为n; A.B表示两集合元素相乘相加;A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.) p/KG{-f,
(4) 在同一张图中显示直线 及散点图; rAS2 qt
(5) 估计温度为200时产品得率. Tfw5i,{
然而, 不少实际问题的观测数据 , , …, 的散点图明显地不能用线性关系来描叙, 但确实散落在某一曲线近旁, 这时可以根据散点图的轮廓和实际经验, 选一条曲线来近似表达 与 的相互关系. O}X @QG2_
问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料, 今以 表示轿车的使用年数, (美元)表示相应的平均价格, 求 与 之间的关系. X 1}U
使用年数 fhmBKeFdV
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LknV47vd
平均价格 Vw5Pg t x
2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 Pa "[&{ :
(1) 利用“ListPlot”函数绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征? fK+ [r1^
(2) 令 , 绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征? \o mfWWpK
(3) 利用“Line”函数, 将散点 连接起来, 说明有何特征? R*VE eLx
(4) 利用最小二乘法, 求 与 之间的关系; oo]g=C$n
(5) 求 与 之间的关系; JY$+<`XM
(6) 在同一张图中显示散点图 及 关于 的图形. 3]67U}`
思考与练习 $>hH{
1. 假设一组数据 : , , …, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合的有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定的数据集合 , 通过求解极值原理所包含的方程组, 不需要给出 、 计算的表达式, 立即得到 、 的值, 并就本课题 I /(3)进行实验. cX|(/h,W/
注: 利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合, 命令格式为: )u]1j@Id
先求A的转置, 然后取第一行元素, 即为数据A的第一个分量集合, 例如 x/IAc6H~_8
(A即为矩阵 ) ww) ow\
= (数据A的第一个分量集合) 0iVeM!bM
= (数据A的第二个分量集合) '3
JVUHn
B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合, 如 = . 8" (j_~;
2. 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算 与 的值, 并与先前的结果作一比较. g|5cO3m0'
注: Fit函数使用格式: 1HUe8m[#3
设变量为x, 对数据A进行线性拟合, 如对题1中的A拟合函数为:
