第一章 随机事件和概率 cS'{h
第一节 基本概念 yQ$]`hr;
.9J}Z^FD
1、排列组合初步 _3:%b6&Pz
（1）排列组合公式 )|v y}Jf7
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 vJaWHC$q
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 YrJUs]A
例1．1：方程 的解是 "V( P)_
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 .>eR X%
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ )A xD|A
,:e~aG,B
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n swxX3GR
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 )
$_1 U!z
u5Vgi0}A
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n /IG{j}
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 Uns%6 o
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ Ps>:|j+
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ e.skE>&
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 3i7EF.
A．120种 B．140种 C．160种 D．180种 F Gx)?
Z3weFbCH
~f(5 l.
]c~yMA+]FZ
L FkDb}
(4)一些常见排列 K^U ="
① 特殊排列 CNefk$/cR
相邻 T{k_3[{0o
彼此隔开 0\{dt4nW&O
顺序一定和不可分辨 $Yt|XT+!&
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ l)vC=V6MG
①3个舞蹈节目排在一起； C@6:uiT$
②3个舞蹈节目彼此隔开； @b,H'WvhfS
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 Q{|%kU"
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ Yu\ $Y0 {]
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ X2@Ef2EkM
X'jyR:u t#
② 重复排列和非重复排列（有序） g ns}%\,
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 9gcW;
xy7A^7Li
③ 对立事件 ) b #5rQ
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ B` Z3e %g#
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ Tc /^h 4xH
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ }[;ZZm?
JFVx&
④ 顺序问题 !:!(=(4$P
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） W|m(Jh[w]
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） Ku l<Q<
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） S>0%jCjW
x[)-h/&Fh
2、随机试验、随机事件及其运算 !xfDW bvHV
（1）随机试验和随机事件 SK\@w9#&$
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 ID2 ->J
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 @01.Pd
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： Ks P2./N
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； T0tX%_6`
（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
C '(
Y
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 9?H$0xZV
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 a#=d{/ ab
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。 TQT3]h6
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。 <"5l< E
为必然事件，Ø为不可能事件。 =U3S"W %
o>r
P\
（2）事件的关系与运算 {P8d^=#q
①关系： Pp-N2t86#2
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： Xe %J{
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 bg i_QB#k\
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 k9}8xpH
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 k~ 8-E u1
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 N.JR($N$
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 {Nl?
②运算： wuH*a3(
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C + +}!Gfc?s
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) .D
4G;=Q
德摩根率： ， jg710.v:
'Gn>~m
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件： 9r].rzf9
（1）两只球是颜色相同的事件 ， T/3LJGnY
（2）两只球是颜色不同的事件 ， o}v<~v(
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。 O JcS%-~
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件： LS[o7 !T(
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ， LL#REK|lm8
（2）至少有一次正面朝上的事件 ， S[zvR9AW&
（3）前两次正面朝上的事件 。 teJt.VA7 )
3、概率的定义和性质 !i;6!w
（1）概率的公理化定义 m
!*F5x
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： bFG~08Z ,d
1° 0≤P(A)≤1， z$?F^3>
2° P(Ω) =1 Mk}T
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有 y|6n:<o
XGB\rf vS
常称为可列（完全）可加性。 a<<4gXx
则称P(A)为事件 的概率。 |fgUW.
=x8[%+
（2）古典概型（等可能概型） ]bY|> q
1° ， %] 4Tff
2° 。 I_r@Y:5{
设任一事件 ，它是由 组成的，则有 G4@r_VP \
P(A)= = }3{eVct#|
5bLNQz\WJ
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 7[1Lh'u
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ #dZs[R7h
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 =P ( *j7=
A． B． C． D． 0SI@`C*1o
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） b(0<,r8
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） e34>q:#5l
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序） qq5X3K2&
/f#b;qa,
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 ;ek*2Lh
CPOH qK`k
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） 3 + 6Ed;P
（1）加法公式 pp@
Owpb
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) i1B!oZ3q
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) f7x2"&?vg
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： .?45:Ey~g
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。 TF8#I28AD
8ZY]-%
（2）减法公式 "
@ D
P(A-B)=P(A)-P(AB) Y*NzY*V\
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) $%~ JG (
当A=Ω时，P( )=1- P(B) zgw ez$
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ). OD8
fn
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是： [ ~9UsHfH
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 h!w::c V
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) YbZbA >|
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) s)E \
JIyS e:p3
（3）条件概率和乘法公式 36=aahXd\
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。 +x2JC' -H
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 m{Q
#f\<
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) D>7a0p784
乘法公式： O <Rh[Aqn
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 Xq 135/d
… …… … 。 {:1j>4m 2
c]^P $F8U
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 K7RAmX
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ 4mvR]: G
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 oqJ Ybim
E=8'!
（4）全概公式 j*.;6}\o
设事件 满足 *z~,|DQ(A
1° 两两互不相容， ， hN3FH# YO
2° ， al2lC #Sy
则有 <X)\P}"L4
。 q94;x |63
此公式即为全概率公式。 Q4u.v,sE
{+67<&g
zZ%[SW&vC
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 p {w-
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： flmQNrC.8
A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225 .!o]oM
U/
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
