第一章 随机事件和概率 n*CH,fih:
第一节 基本概念 IKKd
'{\VOU
1、排列组合初步 =`xk|86f
(1)排列组合公式 %'"#X?jk1
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 { >{|3
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 C 6Bh[:V&
例1.1:方程 的解是 w3 PE.A"Q
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 LVq3R 8A
例1.2:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? C&bw1`XJf
TOn{o}Y B
(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n ~1`.iA
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 { r`l
1s-k=3)
(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n t] P[>{y
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 ,]i ^/fT
例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 1}tZ,w>
例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? - 6;0 x
例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 m/|>4~
A.120种 B.140种 C.160种 D.180种 gTY\B.
8;4vr@EV
R5ZnkPEA
sVZb[|zSri
R/waWz\D
(4)一些常见排列 pB|L%#.cW
① 特殊排列 >{~W"
相邻 ~&CaC
彼此隔开 W*QD'
顺序一定和不可分辨 L=iaL[zdJ
例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? 5UVQ48aT
①3个舞蹈节目排在一起; iH#~eg
②3个舞蹈节目彼此隔开; V=VL@=
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 F_/]9tz?;
例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? Z=sy~6m+v
例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? <P3r+ 1|R
<t,uj.9_
② 重复排列和非重复排列(有序) R,C)|*ef
例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? WiH%URFB
XrYMv
WT
③ 对立事件 Nb>|9nu
O
例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? +h pXMO%?
例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? Dn) =V.
例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性? ;o,t*
LZMdW
#,[
④ 顺序问题 5`{ +y]
例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) /wK5YN.em
例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) /u<lh.
hPW
例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序) S6B(g_D|
9U>ID{
2、随机试验、随机事件及其运算 Nv,[E+a2
(1)随机试验和随机事件 r42[pi]F
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 _U1~^ucV
例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件(正态分布)。 /R^HRzTO
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: F@kOj*5,[
(1) 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; Gnj;=f
(2) 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 {:IOTy
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示,例如 (离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 SIKy8?Fn
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。 j?jEWreq]~
如果某个 是事件A的组成部分,即这个 在事件A中出现,记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ,则称在这次试验中事件A发生。 p)f OAr
如果 不是事件A的组成部分,就记为 。在一次试验中,所出现的 有 ,则称此次试验A没有发生。 @z EEX9U
为必然事件,Ø为不可能事件。 /R8>f
9xB^dKM3
(2)事件的关系与运算 ];R5[%:5
①关系: ]cc4+}L~
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): hQ i[7r($8
如果同时有 , ,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 WHBQA\4
A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 /_rQ>PgSZW
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者 ,它表示A发生而B不发生的事件。 d0>V^cB '?
A、B同时发生:A B,或者AB。A B=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 b+'G^!JR
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 `=^29LC#
②运算: O4@Ki4f3A%
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C $N5VoK
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) Z_iu^Q
德摩根率: , $G"PZ7
'/\@Mc4T
例1.16:一口袋中装有五只乒乓球,其中三只是白色的,两只是红色的。现从袋中取球两次,每次一只,取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件, 表示取到的两只球是红色的事件,试用 、 表示下列事件: o$\{&:y
(1)两只球是颜色相同的事件 , t^ Aios~F
(2)两只球是颜色不同的事件 , h.%VWsAO7
(3)两只球中至少有一只白球的事件 。 vPR1
TMi>
例1.17:硬币有正反两面,连续抛三次,若Ai表示第i次正面朝上,用Ai表示下列事件: "monuErg&
(1)前两次正面朝上,第三次正面朝下的事件 , _0)#-L>xKF
(2)至少有一次正面朝上的事件 , X;w1@4!
(3)前两次正面朝上的事件 。 T73oW/.0X?
3、概率的定义和性质 ^OI
(1)概率的公理化定义 &s"&rFFO[
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: Oe'Nn250
1° 0≤P(A)≤1, b)en/mz
2° P(Ω) =1 W:3u$LTf*f
3° 对于两两互不相容的事件 , ,…有 ~B:Lai4"
:u'X
~ID[
常称为可列(完全)可加性。 Q# }} 1}Ja
则称P(A)为事件 的概率。 ci+Pg9sS
n8w|8[uV^
(2)古典概型(等可能概型) [NFg9y;{h
1° , doFp53NhV
2° 。 EX>> -D7L
设任一事件 ,它是由 组成的,则有 +IuV8XT2(
P(A)= = =gGK24 3
ba%[!
例1.18:集合A中有100个数,B中有50个数,并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个,抽到满足a+b=10的a,b的概率。 "ltvD\
例1.19:5双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率为多少? *-ZD -B*?
例1.20:在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者,则指定的4个座位被坐满的概率是 A~ '2ki5$g
A. B. C. D. 3hmuF6y~
例1.21:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的概率?(有序) 7FqmT
例1.22:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的概率?(有序) lBR6O!sBP
例1.23:3白球,2黑球,任取2球,2白的概率?(无序) =P'=P0G
zr&K0a{hc
注意:事件的分解;放回与不放回;顺序问题。 E;$t|~#
+DF<o
U~
4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯) %pc0a^iB
(1)加法公式 u4IgPCTZ+
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) N ]}Re$5
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B) Y5-X)f
例1.24:从0,1,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: T)3#U8sT
A=“三个数字中不含0或者不含5”。 7Hf6$2Wh
9$~D4T
(2)减法公式 0+/L?J3
P(A-B)=P(A)-P(AB) =V"ags
当B A时,P(A-B)=P(A)-P(B) dDi 1{s
当A=Ω时,P( )=1- P(B) ;p BXAl
例1.25:若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和P( + ). _(
w4 \]
例1.26:对于任意两个互不相容的事件A与B, 以下等式中只有一个不正确,它是: A{>]M@QC2
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 ? Q.Y
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) z:+Xs!S
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) R{#-IH="
F`
J(+
(3)条件概率和乘法公式 kC01s
定义 设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称 为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为 。 4-E9a _
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 l2gI2Cioa
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) &m'O :ZS2
乘法公式: xE9^4-Px*
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有 *#N%3:@T
… …… … 。 E"#<I*b
6:v8J1G(<
例1.27:甲乙两班共有70名同学,其中女同学40名,设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率。 0w< iz;30
例1.28:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问以下事件的概率? HjGT{o
①第一次打开;②第二次打开;③第三次打开。 j+_g37$:
&4O"Xs`ka
(4)全概公式 MG8-1M
设事件 满足 r;O{et't7y
1° 两两互不相容, , bp_3ETK]P
2° , /iy2j8:z
则有 xtpD/,2
。 ++R-_oQ
此公式即为全概率公式。 7; TS
&|9mM=^
8}xU]N#EV
例1.29:播种小麦时所用的种子中二等种子占2%,三等种子占1.5%,四等种子占1%,其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 d^ipf*aLC
例1.30:甲盒内有红球4只,黑球2只,白球2只;乙盒内有红球5只,黑球3只;丙盒内有黑球2只,白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球,它是红球的概率是: 49/1#^T"Q>
A.0.5625 B.0.5 C.0.45 D.0.375 E. 0.225 |g8
]WFc
例1.31:100个球,40个白球,60个红球,不放回先后取2次,第2次取出白球的概率?第20次取出白球的概率?