第一章 随机事件和概率 qJ .XI
第一节 基本概念 #N%j9
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1、排列组合初步 i|xz
(1)排列组合公式 bnPhhsR
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 ,gM:s}l!dJ
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 Cs\jPh;"
例1.1:方程 的解是 yb)qg]2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 "rfBYl`
例1.2:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? uvw1 _j?
4eF{Y^
(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
FsQoQ#*
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 )."dqq^ q
VDxF%!h(
(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n P]OUzI,
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 <_]W1V:0
例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? WQ9Q:F2
例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? _^`V0>Mh:
例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 eKo=g|D
A.120种 B.140种 C.160种 D.180种 VF b
E}THG=6
S<-5<Pg
[=tIgMmz
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(4)一些常见排列 X?;iSekI4
① 特殊排列 NqveL<r`
相邻 $RunGaX!=N
彼此隔开 VvT7v]
顺序一定和不可分辨 VDZOJM)(
例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? fL("MDt
①3个舞蹈节目排在一起; >>"@0tO
②3个舞蹈节目彼此隔开; >_ G'o
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 g_A#WQyh\'
例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? mNEh\4ai
例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? e Qk5:{[
!w@i,zqu
② 重复排列和非重复排列(有序) x34GRe!!
例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? Jr= fc*f
kbJ4CF}H
③ 对立事件 ~B?Wg!
例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? )heHERbJ
例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? qJ<l$Ig
例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性? Hs_7oy|P
+@H{H2J 4
④ 顺序问题 &FJr?hY%
例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) cSNeWJKA6
例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) A)Rh
Bi
例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序) @,-D
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VE1j2=3+o
2、随机试验、随机事件及其运算 8j :=D!S
(1)随机试验和随机事件 s:(z;cj/
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 ;>;it5 l=
例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件(正态分布)。
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在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: }' sW[?ik
(1) 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; N9y+Psh
(2) 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 n3qRt
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示,例如 (离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 wZW\r!Us
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。 ~jmI`X/
如果某个 是事件A的组成部分,即这个 在事件A中出现,记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ,则称在这次试验中事件A发生。 {E7STLQ_%
如果 不是事件A的组成部分,就记为 。在一次试验中,所出现的 有 ,则称此次试验A没有发生。 0IP0zil
为必然事件,Ø为不可能事件。 -_eG/o=M
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(2)事件的关系与运算 2JcP4!RD
①关系: JAI.NKB3
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): NV@$\<
如果同时有 , ,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 12_7UWZ"
A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 M%W#0
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者 ,它表示A发生而B不发生的事件。 b`,Sd.2=('
A、B同时发生:A B,或者AB。A B=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 &-X51O C
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 065 =I+Vo
②运算: yy&L&