第一章 随机事件和概率 |7A}LA
第一节 基本概念 0QfDg DX
[Y, L=p
1、排列组合初步 :wg =H
（1）排列组合公式 ~&MDfpl
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 <~w 3[i=
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 uCuB>x&
例1．1：方程 的解是 cbm;45 L|
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 \SO)|M>. a
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ k %O3\q
^^B_z|;Aa
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n z9OpxW@Ou
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 z8{-I@+`
I"lzOD; eI
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n hjFht+j1
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 .%.7~Nu,
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ @b^$h:H
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ <BZC5b6
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 VX8CEO
A．120种 B．140种 C．160种 D．180种 X;)/<:mX
q%$p56\?3
U\j g X
e? +- ~]0
Q#qfuwz
(4)一些常见排列 U2 W Hs3
① 特殊排列 a L+>XN
相邻 6hYz^}2g
彼此隔开 D g0rVV6c
顺序一定和不可分辨 > .K%W *t
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ?f q!BV
①3个舞蹈节目排在一起； u
"k<
N|.3
②3个舞蹈节目彼此隔开； [Eu) ~J*
③3个舞蹈节目先后顺序一定。 ~ @xPoD&
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 4\v &8">LL
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ` W~
x`@`y7(
② 重复排列和非重复排列（有序） "qR, V9\
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ \
ya@9OA
2YW;=n
③ 对立事件 KZZ Y 9
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ ~AX~z)
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ a*.#Zgy:lK
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ Jx}-Y*
o
p!uB 8F
④ 顺序问题 KT<$E!@
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） +> !nqp
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） Z/?{{}H+
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） wW)(mY?
3Z*o5@RI
2、随机试验、随机事件及其运算 @/^mFqr2
（1）随机试验和随机事件 Rky ]F+J
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 _ ~\ } fY
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 QOg >|"KL
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： vMEN14;yH_
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ;e5PoLc
（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 81s
} 4
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 ;xzaW4(3
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 = _ |G q|
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。 0<~~0US
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。 g:JSy
为必然事件，Ø为不可能事件。 XJ3sqc S
pUqC 88*j
（2）事件的关系与运算 +8N6tw/&
①关系： 1a{r1([)
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 9+N% Io?!
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 C,l,fT
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 ,
%z HykP
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 ~ B JE~
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 c6 mS
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 4l %W]'
②运算： \b(&-=(
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C h^tCF =S
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) si6CWsb_ f
德摩根率： ， Nv36#^Z
!KK `+ 9/
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件： |3,WiK='
（1）两只球是颜色相同的事件 ， b}0h ()v
（2）两只球是颜色不同的事件 ， eZT8gKbjJ)
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。 <.4(#Ebd
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件： 0 N>K4ho6{
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ， ;i6~iLY
（2）至少有一次正面朝上的事件 ， >{Hg+/
（3）前两次正面朝上的事件 。 g3NUw/]#
3、概率的定义和性质 &F~d~;G"q
（1）概率的公理化定义 -\?-
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： ^)>( <6
1° 0≤P(A)≤1， xE?KJ
2° P(Ω) =1 r]p3DQ
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有 96V8R<
|@JTSz*Or
常称为可列（完全）可加性。 -GP BX?
则称P(A)为事件 的概率。 4DCh+|r
gp`@dn';
（2）古典概型（等可能概型） ftPps -
1° ， }UW*[dCf>C
2° 。 hp'oiR;~w
设任一事件 ，它是由 组成的，则有 SQcic]Ep
P(A)= = L4/ns@e
F:ycV~bE
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 =figat
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ w CL n iCt
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 z U[pn)pe
A． B． C． D． E72N=7v"
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） ~3:hed7:
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） ]o uoRlb/
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序） 9S]pC?N]E
~&)\8@2
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 G=17]>U
UDi(7c0.
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） ,nteIR'??
（1）加法公式 }}TPu8Rl
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) %;QK5L
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) ZSQiQ2\)
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： L.@$rFhA
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。 YM_ [
*g+ ZXB
（2）减法公式 h 8UhrD<:
P(A-B)=P(A)-P(AB) -&2Z/qM&!
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) j13- ?fQ&
当A=Ω时，P( )=1- P(B) .Bl:hk\
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ). lF(v<drkB
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是： ck] I ?
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1 ]j7`3%4uK
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) ? fy37m(M}
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ ) A Qjv?
4)T
ZXQ5fBx
（3）条件概率和乘法公式 e5bXgmyil
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。 s 7 nl
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 n^[a}DX0
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) $||WI}k3V
乘法公式： n+=qT$w)
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 yy{YduI
… …… … 。 $5 G(_
8+w*,Ry`
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 BT [|f[1
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ M%ecWr!tj
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。 D@uVb4uK
xbCR4up S
（4）全概公式 Ne<S_u2nT
设事件 满足 d nD@B Q
1° 两两互不相容， ， < MG&3L.[
2° ， `:3nF'
则有 kB@gy }
。 f{VV U/$
此公式即为全概率公式。 %|H]T] s
VCc=dME
O1o>eDE5A
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 zl8M<z1`1
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： * bp09XG
A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225 Y({
R\W|
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
