第三幕:关键推演(看看会发生什么) T9&-t7:
现在我们用这个模型来玩几个推演游戏,你会发现它的魔力。 |AgdD
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推演1:已知今天状态,预测明天 j%_{tB
如果今天(周一)少年是 “普通模式(B)”,问明天(周二)他摆烂(躺平C)的概率是多少? (T&rvE
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解:直接查表!找到“今天是普通(B)”那一行,看“到躺平(C)”那一列的数字:0.2。 j`
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答:概率是 20%。 F6g)2&e{/
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你看:我们不需要知道他周日是卷还是躺,只需要知道今天(周一)的状态,就能预测明天。这就是“无记忆性”。
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推演2:预测后天(多步转移) tsGt,]O30
如果今天(周一)是 “普通模式(B)”,问后天(周三)他变成“卷王(A)”的概率是多少? Vp"=8p#k
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思路:从B到A,有多条路径走两天能到: \L6kCY
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B -> A -> A (今天普,明天卷,后天还卷) {lNvKm)w
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B -> B -> A (今天普,明天还普,后天卷) r
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B -> C -> A (今天普,明天躺,后天卷) q oA?
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计算: _f^JXd,7v
nw.,`M,N
P(B->A->A) = P(B->A) * P(A->A) = 0.3 * 0.2 = 0.06 ZeB"k)FI>
I%4)%
P(B->B->A) = P(B->B) * P(B->A) = 0.5 * 0.3 = 0.15 WD`z\{hcom
G&2UXr3
P(B->C->A) = P(B->C) * P(C->A) = 0.2 * 0.1 = 0.02 45?aV@
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总概率:0.06 + 0.15 + 0.02 = 0.23 B4uJT~,7>
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你看:通过矩阵乘法(这里手工算了),我们可以预测任意多天之后的状态概率分布。电脑算这个飞快。 NFYo@kX>
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推演3:长期预测(稳态分布) E;I'b:U`
最神奇的部分来了:如果我们观察他很长很长时间(比如一年后),他每天处于卷、普、躺的概率会稳定在某个固定值吗? $_ &Lp\
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答案是:会的! 对于这个特定模型,无论他从哪一天、哪一种状态开始(周一卷王 or 周一躺平),在很久以后,他每天的状态分布会趋近一个固定的概率。这叫 “稳态分布” 或 “平稳分布”。 .k_>
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计算(解一个线性方程组,这里略过计算过程): HV*Dl$
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最终,他每天有大约 21.1% 的日子是 卷王(A) SK6?;_
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有大约 50.0% 的日子是 普通(B) F},#%_4
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有大约 28.9% 的日子是 躺平(C) >0^oC[ B
=I(F(AE
这个稳态分布告诉我们这个系统的“底色”: \:7G1_o
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这个少年长期来看,一半时间在普通摸鱼。 1$+-?:i C
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躺平的时间(28.9%)比卷的时间(21.1%)要多一点。 CP5vo-/)-
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如果你想改变他(比如家长、老师),你就必须改变那个转移概率矩阵(比如提高从C到A的概率),否则他长期的行为模式就这样了。 x-hr64WFK
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