第三幕:关键推演(看看会发生什么) rt)70=
现在我们用这个模型来玩几个推演游戏,你会发现它的魔力。 &^$dHr6v
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推演1:已知今天状态,预测明天 I)Y ^_&=
如果今天(周一)少年是 “普通模式(B)”,问明天(周二)他摆烂(躺平C)的概率是多少? tn!z^W
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解:直接查表!找到“今天是普通(B)”那一行,看“到躺平(C)”那一列的数字:0.2。 -jy-KC
L1ZhH3}X
答:概率是 20%。 MT9c:7}[&
M7!>-P
你看:我们不需要知道他周日是卷还是躺,只需要知道今天(周一)的状态,就能预测明天。这就是“无记忆性”。 8wz%e(
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推演2:预测后天(多步转移) g((glr)6M
如果今天(周一)是 “普通模式(B)”,问后天(周三)他变成“卷王(A)”的概率是多少? b)RU+9x &
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思路:从B到A,有多条路径走两天能到: k?ubr)[)
Ht|No
B -> A -> A (今天普,明天卷,后天还卷) :#W40rUb
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B -> B -> A (今天普,明天还普,后天卷) )\#w=P
C9>tj=yEY
B -> C -> A (今天普,明天躺,后天卷) Mqc"
S~fUR n
计算: ={,\6a|]:
b@j**O>[q)
P(B->A->A) = P(B->A) * P(A->A) = 0.3 * 0.2 = 0.06 7.)e4
Q`k=VSUk
P(B->B->A) = P(B->B) * P(B->A) = 0.5 * 0.3 = 0.15 ep`WYR|B
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P(B->C->A) = P(B->C) * P(C->A) = 0.2 * 0.1 = 0.02 6p`AdDV
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总概率:0.06 + 0.15 + 0.02 = 0.23 \ cmt'b
B@g 0QgA
你看:通过矩阵乘法(这里手工算了),我们可以预测任意多天之后的状态概率分布。电脑算这个飞快。 $/^DY&
>MD['=J[d
推演3:长期预测(稳态分布) 0Y[LzLn
最神奇的部分来了:如果我们观察他很长很长时间(比如一年后),他每天处于卷、普、躺的概率会稳定在某个固定值吗? %&m/e?@%I
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答案是:会的! 对于这个特定模型,无论他从哪一天、哪一种状态开始(周一卷王 or 周一躺平),在很久以后,他每天的状态分布会趋近一个固定的概率。这叫 “稳态分布” 或 “平稳分布”。 ?,~B@Kx
J%`-K"NB
计算(解一个线性方程组,这里略过计算过程): (#x<qi,T
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最终,他每天有大约 21.1% 的日子是 卷王(A) ]G.ttfC
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有大约 50.0% 的日子是 普通(B) eaLSq
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有大约 28.9% 的日子是 躺平(C)
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Tbv", b
这个稳态分布告诉我们这个系统的“底色”: /W&R