内容如下：
2#NnA3l]x% ---------------------------------------------------------------------------
@ 95p [ http://www.scutde.net/t14courses/1409-bba9ffhckc/content/part09/09_02.htm 'A|c\sy 第九章 水泥混凝土路面结构设计
+C\79,r 9.2 弹性地基板的应力分析
!,ODczWvh 混凝土路面板所承受的应力：
OcUj_Zd ① 荷载应力（车辆荷载作用下）；
A@o7 ② 温度应力（温度变化而板的伸缩和翘曲受阻所产生）；
m h4 VQ9 ③ 收缩应力（混凝土硬化和湿度变化造成）；
<yl@!-'J7 ④ 路基和基层的体积变化而引起的应力等。
2|7:`e~h 路面板设计时，主要考虑荷载应力和温度应力。
o L9<Fi 通常采用弹性地基板理论分析路面板的应力状况。
L{~ ]lUo 原因：混凝土路面在荷载作用下产生的变形很小，混凝土面层的模量远大于其下面的基（垫）层和路基的模量，其间的摩阻力一般也不大。
f\5w@nX 一、荷载应力分析
G 9Xkim Q' 1. 弹性地基小挠度薄板理论
50 w$PW ——混凝土路面板常做成等厚式，其厚度不到平面尺寸的 1 ／ 10 ，在轮载作用下的竖向位移（称作挠度）又比厚度小两个数量级。因而，可把混凝土板看作是均质、各向同性、无重量、等厚的小挠度弹性薄板。
MR|A_e^x ——路面板下的基（垫）层和路基，可看作是弹性地基。它对路面板仅有竖向的支承反力，也即假设地基与板之间无摩阻力（能自由滑动）；同时，地基和板完全接触（不脱空），即板底面与地基须面的竖向位移始终是相同的。
Foq3==*p 在研究竖向荷载（板顶为局部范围内的轮载 p ，板底为地基反力 q）作用下的小挠度薄板问题时，通常采用下列三项基本假设：
l!}g Wd,H （l）竖向应力 和应变 很小而不计。由此，竖向位移 W 仅是平面坐标（x ， y）的函数，也即沿板厚各点具有相同的 W 。
}t#|+T2f （2）板中面的法线，在弯曲后仍保持为直线并垂直于中面，因而无横向剪应变，即
2{RRaUoRb （3）中面上各点无平行于中面（x 和 y 方向）的位移。
t{UVX%b 板内的应力状况原是三维的，但作了上述三项假设，便可简化成平面问题。依据此假设，可建立薄板在局部荷载 p 和地基反力 q 作用下弯曲的挠曲面微分方程：
2XL^A[? (9-5)
^0"^ 采用圆柱坐标，则改写为
sDs.da#*2 (9-6)
oaha5aWH 在上述微分方程中，地基反力 q 随地基的特性和板的挠度 W 而异。为了建立地基反力同挠度之间的关系，通常采用两种不同的地基假设：
d7BpmM （l）文克勒地基
Qe F:s|[ 假设地基上任一点的反力仅同该点的挠度成正比，而同其他点无关，即
[? "hmSJ (9 — 7)
p p0356 式中， k 为地基反应模量。
G1it
3^*$ （2）半无限地基
3B;Gm<fJ9N 假设地基为弹性半无限体，其性质用弹性模量 和泊松比 来表征。若地基上作用轴对称荷载（反力） q （r），则任一点的挠度 W （r）为
@5&5 7R3> (9 — 8)
gK~Z Ch 式中， 为反力 q (r) 的零阶亨格尔 (Hankel) 变换式；其余符号意义同式（8 — 12）。
41/ civX>V 这样，就可按各种边界条件，解上述四阶微分方程，得挠度 W ，进而计算板的应力和内力（弯矩等）值。
Tp@Yn 2．文克勒地基板的解析解
YKUAI+ks 威斯特卡德 (H.M.Westergaard) 采用文克勒地基假设，将车轮荷载 P 简化成圆形均布竖直荷载（其半径为 δ ，压强为 p），分析了图 9 — 3 所示三种典型轮载位置下板的挠度和弯矩，得到最大弯拉应力的计算公式。
E
u O:}[ （l） 轮载作用于板的中央（板中荷位 A）： 按圆形均布荷载位于无限大板板中的解，得最大弯拉应力出现在荷载中心处的板底，其值为
]2L11" erP (9 — 9)
+o3n%( ^~ 当轮载作用面积较小时，压强 p 可能很大。这时，如果仍采用薄板理论计算应力，会得出偏大的结果。通过分析薄板与厚板理论计算结果的差异，一般来说，当 δ ＜ 0.5h 时，可近似地用当量计算半径：
tX%
C5k (9 — 10)
Z:^<NdKe 替代式 (9 — 9) 中的 δ ，以计算应力。
m\*ca3$ （2） 轮载作用于板边中部（板边荷位 B）： 按圆形均布荷载以半圆位于半无限大板（为一直线自由边）边缘的解，得最大弯拉应力出现在荷载下沿板边的底部，其值为
,X|FyO(p (9 — 11)
!.%*Tp#k# 当 ＜ 0.5h 时，也须将式中的 δ 改换成 b 进行计算。试验表明，若板边与地基脱开，实测应力值将比式（9 — 11）的计算值偏高 10% 左右。
r;b `@
. （3） 轮载作用于板的角隅（板角荷位 C）： 设荷载圆与正交角隅两边（另一端无穷远）相切，其圆心距角隅点为 ；根据最小位能原理导出沿板角分角线的挠度曲线方程，得最大拉应力为
*CGHp8 (9 — 12)
>/Z*\6|Zx# 出现在距角隅点为 处的板顶。
(]sm9PO 在温度梯度和地基塑性变形的影响下，板角也会同地基脱开。试验表明，板角上翘时，实测应力值要比按式（9 — 12）算得的大 30%~50% 。对此，凯利 (E.F.Kelley) 提出了经验修正公式如下：
*0oa2fz% (9 — 13)
*DcIC]ao[ 在以上诸式中， l 为板的相对刚度半径，即
XR8`,qH> (9 — 14)
1/\Xngd 上述三种受荷情况的最大应力计算公式，可写成下列一般形式：
sRLjKi2D (9 — 15)
>"UXY) 式中， C 为应力系数，可由图 9 — 4 查得。
b&A/S$* 由图 9 — 4 可见：
y}FG5'5$13 在同一轮载和路面结构情况下，板中受荷时产生的最大应力值低于板边和板角受荷时，约为未脱空的板边最大应力的 2 ／ 3 左右。板角受荷时产生的最大应力，在板角末翘起的情况下低于板边受荷时；但在板角翘起时，则超过板边受荷的应力。
5M> p%/ 3. 半无限地基板的解析解
-hfDf{QN 半无限地基上无限大板受到集中或圆形均布荷载作用时，属于轴对称课题，可由式（9 － 6）和式（9 － 8）按边界条件解板的饶度方程，并进而得到弯矩关系式。
GR (m+%Vw! 距荷载作用中心（坐标原点） r 处的挠度：
auIW>0?} (9 — 16)
)+v5 H 式中 ——半无限地基板的相对刚度半径，即
O<wH+k[ ~i?Jg/qcxN (9 — 17)
+z9BWo!{I —— 挠度系数，随 r/ 和 δ/ 而变，见图 9 — 5 。
6Jy%4]wK 图 9 — 5 表明，荷载圆半径 S 对挠度系数的影响不大。因而，对于圆形均布荷载，可以按集中荷载计算其挠度值。
A ' ![*O 距集中荷载作用点 r 处板在单位宽度的辐向弯短和切向弯矩（见图 9 － 6）为
)/f#~$ws (9 — 18)
8aQTm- {m 式中 分别为辐向和切向弯矩系数，其值随 r/ 而变，可由表 9 — 1 查得。
Q,9KLi3 圆形均布荷载作用下板内产生的最大弯矩(位于荷载中心处，在各个方向均相同) 为
Nq9pory^ (9 — 19)
u`B/ 9-K)y 式中， 为荷载中心下 (r=0) 板的弯短系数，其值随 δ／ 而变，可查表 9 — 1 。但当 δ ＜ 0.5h时，也应按式（9 — 10）以当量计算半径 b 代替。
C% z9Q 另外，必须指出，只有当荷载作用中心与板边缘的距离大于相对刚度半径的 1.5 倍时，才能应用上述无限大板的公式解算弯矩 M ，再按下列公式计算板的应力：
;s~xS*(C (9 — 20)
^x*J4 jl 另外，对比两种地基上无限大板的解可知，如果两者相对刚度半径相等，则所得板的应力是一致的。因此，特式（9 — 17）代人式（9 — 9），亦能计算半无限地基板的板中应力。
~BTm6*'h 当板中受到多个车轮荷载作用时，可取其中一个车轮作为主轮，按均布荷载考虑，其他各轮按集中荷载考虑，叠加它们的影响。叠加时，需注意应力的方向。如在计算点统一取正交的 x,y 方向，则各轮在该点的辐向弯矩 从和切向弯矩 ，均应转换为 x ， y 方向的弯短 M x 和 M y ，再分别叠加起来。根据《材料力学》教材所述单元体斜截面上的应力关系(图 9 － 7) ，可推得板内不同方向弯矩的转换公式：
9'Z{uH i% (9 — 21)
i:N-Q)<Q*) 式中， α 为集中荷载作用点与弯矩计算点连线同 X 轴的夹角。
%1cxZxGT 例 9.1class="pcopy1" class="pcopy1"JN360 型双后轴车，双后轴一侧共四个车轮（见图 9 － 8），每个车轮的荷载 P=27.5kN ，轮压 p ＝ 0.7MPa 。混凝土路面板厚 h ＝ 22mm ，弹性参数 ， ；地基参数 ， 。试分析板中最大应力值。
U1 3Lsky% 解class="pcopy1" class="pcopy1"如图 9 — 8 所示，取1号车轮作为主轮，计算该荷载中心下的应力。
?mV2| ; 由式 (9 — 17) ，可求得板的相对刚度半径：
K~]Xx~F W;yg{y 1号轮载作用圆的半径 δ按式 (2—1)计算：
?r]0 %W^ &Odrq#o ?R 由表9—1查得各轮载的弯矩系数，按表9—2计算四个车轮荷载在1号车轮下产生的弯矩系数。
BGfwgI.m 板中承受的弯拉应力：
L})fYVX
LDw.2E
由表 9 — 1 查得各轮载的弯矩系数，按表 9 — 2 计算四个车轮荷载在 1 号车轮下产生的弯矩系数。
.rg "(I 板中承受的弯拉应力：
L4+R8ojG g<F+Ldgj
由此可见，多轴多轮荷载所产生的板中应力，并不比其中单轴双轮组的应力大多少，有时甚至更小些，这取决于其他轮轴荷载的应力方向，相对于主要应力方向来说，是切向还是辐向；同时还取决于轮（轴）距与相对刚度半径的比值。
^4JK4+!Zfq 半无限地基板边角荷位的应力分析，目前尚无解析解，只有采用近似的数值计算方法，如有限元法等。
`6Q+N=k~Z 4. 弹性地基板的有限元解
h+d k2|a 对半无限地基上的有限尺寸矩形板（四边自由），将车轴一侧双轮组轮载简化成双方形荷载图式（见图 9 — 9），可借助于有限元法计算分析轴载在板上不同位置时板内的应力状况。
q~18JB4WPJ 大量计算结果表明：
QHXpX9 在单轴荷载情况下，轴载作用于纵向边缘(即两侧双轮中有一侧靠贴纵边，另一侧在板内) 中部时(图 9 — 9 a)) 应力最大；
oT:w GBW 仅双轮组轮载作用于横向边缘中部时（图 9 － 9b）的应力，大于轴载作用于横边时（此时要计入另一侧轮载的附加影响，叠加后应力反而减小）；
)2Q0NbDn 双轮组轮载作用于板中时应力最小，也小于轴载作用于板中部时（图少 9 － 9c））。
6_8y Q 有限元法在应用上的一个主要缺陷是它没有解析式，只能针对具体的情况采用计算机程序解出具体的结果来。为便于工程上实际使用，通过大量计算分析，整理编绘了应力计算用图，如图 9 — 10 、图 9 — 11 、图 9 － 12 所示。利用这些图，可根据板厚 h 、板与地基的模量比 E c /E s , 以及轴载 P ，确定不同单轴荷载位置时（见图 9 — 9）板内的最大应力 σ 。
'M?pg$ta_V 同时，对有限元法的计算结果进行回归分析，可得荷载应力 σ（MPa）公式如下：
~ D/Lo$K" (9 — 22)
IY~I=} 式中 P——单轴轴重或双轴总重（kN）；
?st}rJ_ h——混凝土面层板厚（cm）；
?3LV$S)U l——板的相对刚度半径（cm），按式（9—17）求算；
Ac* )z#H A,m,n ——回归系数，见表 9 — 3 。
A$~H`W<yxB 上述回归公式适用于板的相对刚度半径 l=50~1059 （cm）的范围内，其相对误差一般不超过 ± 2% ；否则，误差要大些。
y]i} j,e0L 试验研究发现，荷载作用于板角时，文克勒地基板的有限元解要比半无限地基板更符合实际。
j^Qk\(^#IV 此外，接缝（相邻板之间）具有部分传荷能力以及板边和板角处同地基脱空时板内的应力，不论是文克勒地基假设或是半无限地基假设，均可采用有限元法解算。
+|oLS_ 二、温度应力分析class="pcopy1"
k ,OxGG 水泥混凝土路面板内不同深度处的温度，随气温而发生变化（参见图 3 － 3 和 3 － 4）。这种变化使路面板出现胀缩变形和翘曲变形。当变形受限制时，板内便产生胀缩应力和翘曲应力。
C<QpUJ`k 1. 胀缩应力
# mM9^LJ 设有一长度（x方向）和宽度（y 方向）均很大的板，在整个板温的升降下板内任一点的
-hF!_) ;{ 应变为
rWJRoGk/ (9 — 23)
Ozul p(8* 式中 ——混凝土的线膨胀系数，按材料性质变动于 0.6 × 10 － 5 ～ 1.3 x 10 － 5 ／ ℃ 之间，通常取用 l × 10 -5 ／ ℃ ；
zb~;<:< ——板温的升降幅度（℃），升高取正值，降低取负值。
U/HF6=Wot 在板的中部，由于板与地基之间摩阻约束，温度升降时板不能移动，即 。以此代人式（9 — 23），可解得胀缩完全受阻时所产生的应力：
OvC@E]/+ (9 — 24)
V LeYO5'L 对于板边缘中部或窄长板（长边平行 X 轴）， 和 ，则得
=JT wH>fD (9 — 25)
a~VW?wq 上述两式中，混凝土弹性模量 E c 的取值，应考虑应力作用的持续时间。由于混凝土的蠕变效应，其持久弹性模量值仅及标准试验模量值的 1/3~2/3 。
d]_].D$ 例 9.2class="pcopy1" class="pcopy1"刚浇好的混凝土路面板温度为 30 ℃，第二天凌晨板温下降为 15 ℃。如果路面板尚未锯切缩缝，问这时板内会产生多大的收缩应力？
BVv -1$ U^ 解class="pcopy1" class="pcopy1" 取 E c =2.5 × l0 4 MPa ， μ c ＝ 0.15 ，则由式（9 － 24）得温度应力为
[$>@f{: ),o=~,v: 这时，由于混凝土尚未完全硬化，其抗拉强度不足以抵抗这样大的收缩拉应力，而板将出现收缩裂缝。
&B+_#V=X@ 例 9.3 混凝土路面板完工时的平均板温为 10 ℃，该地的最高平均板温约为 45 ℃。若未设置胀缝，板的膨胀受阻，这时板内会出现多大膨胀应力？
p&xj7qwp@F class="pcopy1"解 class="pcopy1"：因板温变化持续有数月，取 E c =2.5 × l0 4 MPa ，则由式（9 － 24）得温度应力为
"FE%k>aV@v >)[W7h 此压应力数值 8.24MPa ，远小于混凝土的抗压强度。这是主张混凝土路面板尽量不设胀缝的根据之一。
qbD _ 对于窄长的路面板，约束板长变化的地基摩阻力随板的重量而变，也即同离板自由端的距离 x 成正比，由此产生相应的温度应力（又称摩阻应力）为
4
q % Gc (9 — 26)
hOqNZ66{ 式中 —— 混凝土的容重，通常可取 0.024MN ／ m 3 ；
rCGK E`H —— 板与地基之间的摩擦系数，同板下的基层类型、板的位移情况等因素有关，一般采用 1~2 。
K^/.v<w 摩阻应力的最大值不可能超过板长变化完全受阻时的胀缩应力值。令两者相等，又 取绝对值，即可得到摩阻应力最大值出现的起始位置 （称为活动区长度）：
$Zi {1w (9 — 27)
E^w0X,0XlE 在 x 0 范围内，板温升降时有位移；超出此范围，板长变化完全受阻。
SoCN.J30 当板长 L 小于 2x 0 时，最大摩阻应力出现在板长的中央，其值可按下式计算：
IAmMO[9H (9 — 28)
%0 u5d$b q 为减小胀缩应力，可将路面板划分为有限尺寸的板块。若板长取 6m ，则 σ t 只有 0.1MPa 左右，可不予考虑。
q|lP?-j 2. 翘曲应力
&"1 _n]JO 由于混凝土板的导热性能较差，当气温变化时，使板顶和板底产生温度差别，而胀缩变形的大小也就不同，引起板的翘曲。
O#^qd0e'P! 当板顶温度高于板底时，板的中部力图隆起，而在受约束后，板底将出现拉应力；反之，当板顶温度低于板底时，则板的四周会翘起，受到约束后板顶将承受拉应力。
Nb0T3\3W 板的翘曲变形受到来自两方面的约束，见图 9 — 13 ：
fA V.Mj- ① 一方面是板的截面在翘曲变形后仍保持为平面的倾向，它约束了由于温度滑板截面呈曲线分布而产生的那部分超出平面状态的应变。
'L1yFv
② 另一方面是板的自重、地基的反力和相邻板的钳制作用，使部分翘曲变形受阻。因薄板在温度梯度最大时的温度分布接近于直线，由第一方面约束所产生的内应力值较小，有时仅考虑第二方面约束。
2:[<E2z su60j^e* 为了分析翘曲应力，威斯特卡德首先对文克勒地基板假设：温度沿板厚呈直线变化，板和地基始终保持接触，板的自重忽略不计，从而导出了板仅受地基反力约束时在无限大板中部和窄而无限长板（或短而无限宽板）中部所产生的翘曲应力计算公式；
RLw/~ 布拉德伯利 (R ． D ． Bradbury) 进而提出有限尺寸矩形极板中沿板长 L 和板宽 B 方向的翘曲应力计算公式如下：
m*e8j[w# (9 — 29)
rJp9ut'FEz 而在板边缘中点的翘曲应力为
5P('SFq'= (9 — 30)
][\ uH| 式中： T h ——板顶与板底的温度差(℃) ；
]G!
APE C x ,C y ——同 L/l 或 B/l 有关的翘曲应力系数，其数值可从图 9-14 中的曲线 3 查取。
kmJ<AnK 半无限地基板的温度翘曲应力，目前尚无解析解。同样，可以用有限元法，采取威斯特卡德计算翘曲应力的假设，对不同参数情况进行大量的计算，并按式（9 — 29）和式（9 － 30）的形式加以整理，而得到图 9.14 中的曲线且 1 和 2 ，供分别查取板中和板边中点的翘曲应力系数。
'oBv(H 由图 9 — 14 可知，板的翘曲应力随板长的增加而加大，但板长到一定程度后，应力值差别就不大；而板的相对刚度半径对翘曲应力的影响则相反。
d.>O`.Mu)} 混凝土路面板内的温度沿截面呈非线性分布（见图 3 － 3）。板较厚时，采用温度沿截面呈线性分布的假设，按板顶与板底温度差确定的温度梯度计算翘曲应力，会得到较大的偏差（参看图 9 — 13）。为此，温度翘曲应力的计算中应考虑由于温度非线性分布而板截面保持平面变形所产生的内应力的影响。计入此温度内应力的翘曲应力表达式：
8M['- 板中部
wqE 2n (9 — 31)
2fm6G).m 板边缘中点
DfOig LG* (9 — 32)
|f}`u F 式中 Dx —— x （板长）方向考虑温度沿板厚非线性分布的温度（翘曲）应力系数：
H!y-o'Z (9 — 33)
93.L887
计算板中部时，
{ Z$]Rj 由于式（9 — 33）中已将不同板厚 h （cm）对温度梯度的影响（表 3 － 5）考虑在内，求算板顶与板底的温度差 T h 时，采用表 3 — 4 所列的温度梯度值，就不必再作厚度修正。
Q."rE"}< 上述各式中，将下标 x 与 y 互换，即可得到 y （宽度）方向的温度应力。板边缘中点时，式（9 － 33）可绘制成图 9 — 14 所示的曲线，以便查用。
F Go)] U 分析研究表明：
F9IPA % 温度梯度作用引起板翘曲后，一部分板有可能同地基脱离接触，而使翘曲应力减小。但这种脱空现象会由于同时承受轮载作用而部分消失，并且由自重约束而增加的翘曲应力又可适当地与剩余脱空现象相抵销。因此，在一般计算温度翘曲应力时，可免去考虑板的自重约束和地基部分脱空的影响，而不致于产生过大的误差。
xn Z ;$r!eFY; http://www.cqvip.com/QK/91479X/200704/24384426.html ^sJp!hi4=) http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-HDGL198906000.htm
